打开数据结构大门：深入理解时间与空间复杂度

在我们的编程之旅中，C语言为我们打下了坚实的基础。然而，如今我们踏入了新的领域——数据结构与算法

c语言系列文章大家可以浏览我的专栏：c语言学习

**那么现在就以算法的时间复杂度和空间复杂度开始，逐步探索这个数据结构的精彩之处 **

---

文章目录

• • @[toc]
• 一.算法效率
• • 1.1 如何衡量一个算法的好坏
  • 1.2 算法的复杂度
• 二.时间复杂度
• • 2.1基本概念
  • 2.2 大O的渐进表示法
  • 2.3常见时间复杂度计算
• 三.空间复杂度
• • 3.1基本概念
  • 3.2常见时间复杂度计算

一.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

通常我们都会认为越简短算法越好 ,但是我们在用递归实现求斐波那契数列的时候，代码确实简短，但是效率却不高

int fib(int n)
{
	if (n <= 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
	}

}

让求个第50个耗费的时间就已经不短了，所以我们需要一个统一的标准来衡量代码的好坏——算法的复杂度

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般

是从时间和空间两个维度来衡量的，即我们所说的时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度：时间复杂度描述了算法解决问题所需的时间量级。它表示随着输入规模的增加，算法执行所需时间的增长趋势，时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
• 空间复杂度：空间复杂度衡量了算法在执行过程中所需的额外内存空间。表示随着输入规模增加，算法所需内存的增长趋势。空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

而如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，更加着重于时间复杂度

---

二.时间复杂度

2.1基本概念

算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。显然这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

确定一个算法中某个基本操作与问题规模 N 之间的关系式，即可确定该算法的时间复杂度

eg:计算一下test1中++count语句总共执行了多少次？

#include<stdio.h>
int test1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
	for (int j = 0; j < N-1; ++j)
	{
		++count;
	}
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
	++count;
}
int M = 20;
while (M--)
{
	++count;
}
}

int main()
{
test1();
return 0;
}

可以知道执行的次数F（N）只与N有关：
$$F(N)=N?(N?1)+N+20$$

• N = 10 F(N) = 120
• N = 100 F(N) = 10020

实际中计算时间复杂度时，其实并不一定要计算很精确的执行次数，只需要知道大概执行次数，即使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

大 O 渐进表示法（Big O notation）: 是一种用于描述算法复杂度的数学表示方法。它用于衡量算法在最坏情况下执行时间的上限，即算法的增长率

规则：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

上面的$$F(N)=N?(N?1)+N+20$$ 用大O表示法为：
$$O(N^2)$$

通过上面这个例子会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁的表示出了执行次数

有些算法的时间复杂度也分最好，平均，最坏的情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数

eg：在一个长度为n的整形数组arr里找a这个值

最好情况第一次就找到了 平均情况n/2次找到 最坏情况n次找的

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算

void test2(int N,int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		count++;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		count++;
	}
}

基本操作执行了M+N次,时间复杂度为O(N)

void test3()
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
}

基本操作执行了100次（常数）,时间复杂度为O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度看最

坏，时间复杂度为 $$O(N^2)$$

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);//相当于begin+（n/2）
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;//找到了返回下标
	}
	return -1;//没找到返回-1
}

基本操作执行最好1次，最坏O(${\log }_{2}N$)次，时间复杂度为 O(${\log }_{2}N$) (一般情况下写成$lgN$)

---

三.空间复杂度

3.1基本概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法

3.2常见时间复杂度计算

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

空间复杂度是 O(N)，其中 N 是输入的参数。这是因为每次递归调用都会在内存中创建一个新的函数调用帧

---

好啦，今天的内容梳理就先到这里了，下一次应该会是顺序表了。感谢大家支持！！！😊