打开数据结构大门:深入理解时间与空间复杂度

2023-12-13 18:43:41

在我们的编程之旅中,C语言为我们打下了坚实的基础。然而,如今我们踏入了新的领域——数据结构与算法

c语言系列文章大家可以浏览我的专栏:c语言学习

**那么现在就以算法的时间复杂度和空间复杂度开始,逐步探索这个数据结构的精彩之处 **


一.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

通常我们都会认为越简短算法越好 ,但是我们在用递归实现求斐波那契数列的时候,代码确实简短,但是效率却不高

int fib(int n)
{
	if (n <= 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
	}

}

让求个第50个耗费的时间就已经不短了,所以我们需要一个统一的标准来衡量代码的好坏——算法的复杂度

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般

是从时间空间两个维度来衡量的,即我们所说的时间复杂度和空间复杂度

  • 时间复杂度:时间复杂度描述了算法解决问题所需的时间量级。它表示随着输入规模的增加,算法执行所需时间的增长趋势,时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
  • 空间复杂度:空间复杂度衡量了算法在执行过程中所需的额外内存空间。表示随着输入规模增加,算法所需内存的增长趋势。空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

而如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度,更加着重于时间复杂度


二.时间复杂度

2.1基本概念

算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。显然这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度

确定一个算法中某个基本操作与问题规模 N 之间的关系式,即可确定该算法的时间复杂度

eg:计算一下test1中++count语句总共执行了多少次?

#include<stdio.h>
int test1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
	for (int j = 0; j < N-1; ++j)
	{
		++count;
	}
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
	++count;
}
int M = 20;
while (M--)
{
	++count;
}
}

int main()
{
test1();
return 0;
}

可以知道执行的次数F(N)只与N有关:
F ( N ) = N ? ( N ? 1 ) + N + 20 F(N)=N*(N-1)+N+20 F(N)=N?(N?1)+N+20

  • N = 10 F(N) = 120
  • N = 100 F(N) = 10020

实际中计算时间复杂度时,其实并不一定要计算很精确的执行次数,只需要知道大概执行次数,即使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

大 O 渐进表示法(Big O notation): 是一种用于描述算法复杂度的数学表示方法。它用于衡量算法在最坏情况下执行时间的上限,即算法的增长率

规则

  1. 常数1取代运行时间中的所有加法常数
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

上面的 F ( N ) = N ? ( N ? 1 ) + N + 20 F(N)=N*(N-1)+N+20 F(N)=N?(N?1)+N+20 用大O表示法为:
O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

通过上面这个例子会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁的表示出了执行次数

有些算法的时间复杂度也分最好,平均,最坏的情况:

  • 最坏情况:任意输入规模的最大运行次数
  • 平均情况:任意输入规模的期望运行次数
  • 最好情况:任意输入规模的最小运行次数

eg:在一个长度为n的整形数组arr里找a这个值

最好情况第一次就找到了 平均情况n/2次找到 最坏情况n次找的

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算

void test2(int N,int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		count++;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		count++;
	}
}

基本操作执行了M+N次,时间复杂度为O(N)

void test3()
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
}

基本操作执行了100次(常数),时间复杂度为O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

基本操作执行最好N次,最坏执行了(N*(N+1)/2次,通过推导大O阶方法+时间复杂度看最

坏,时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);//相当于begin+(n/2)
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;//找到了返回下标
	}
	return -1;//没找到返回-1
}

基本操作执行最好1次,最坏O( log ? 2 N \log_2N log2?N)次,时间复杂度为 O( log ? 2 N \log_2N log2?N) (一般情况下写成 l g N lgN lgN)


三.空间复杂度

3.1基本概念

空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,算的是变量的个数

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似,也使用大O渐进表示法

3.2常见时间复杂度计算

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

使用了常数个额外空间,所以空间复杂度为 O(1)

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

空间复杂度是 O(N),其中 N 是输入的参数。这是因为每次递归调用都会在内存中创建一个新的函数调用帧


好啦,今天的内容梳理就先到这里了,下一次应该会是顺序表了。感谢大家支持!!!😊

文章来源:https://blog.csdn.net/qq_74415153/article/details/134947120
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