【数据结构(十二·图)】图的相关知识（包括深度优先遍历和广度优先遍历）

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1. 图的基本介绍

为什么要有图？
????前面学了线性表和树，线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系，树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。

1.1. 图的举例说明

图是一种数据结构，其中
????①结点可以具有零个或多个相邻元素。
????②两个结点之间的连接称为边。
????③结点也可以称为顶点。
如图：

1.2. 图的常用概念

1.顶点(vertex)
2.边(edge)
3.路径
4.无向图
????
如下图所示：

5.有向图
6.带权图

????
如下图所示：

2. 图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

2.1. 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 $row$ 和 $col$ 表示的是 $\mathrm{1....}n$ 个点。

2.2. 邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费
   邻接表由数组+链表组成

举例说明：

3. 应用案例

要求: 代码实现如下图结构

思路分析：
????(1) 存储顶点String，使用 ArrayList
????(2) 保存矩阵 int[][] edges

代码实现：

package graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

import javax.management.loading.PrivateClassLoader;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
	private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目

	public static void main(String[] args) {
		// 测试
		int n = 5;// 节点的个数
		String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String Vertex : Vertexs) {
			graph.inserVertex(Vertex);
		}
		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGrap();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
	}

	// 图 常用的方法
	// 返回节点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGrap() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到边的数目
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 插入节点
	public void inserVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @param v1     表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
	 * @param v2     表示第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}

}

运行结果：

4. 图的遍历

图遍历介绍：
????所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

4.1. 深度优先遍历

4.1.1. 基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) ：
????深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
????这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

4.1.2. 算法步骤

1. 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
2. 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
5. 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

分析图解：

4.1.3. 代码实现

package graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

import javax.management.loading.PrivateClassLoader;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
	private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目

	// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {
		// 测试
		int n = 5;// 节点的个数
		String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String Vertex : Vertexs) {
			graph.inserVertex(Vertex);
		}
		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGrap();

		// 测试：dfs遍历是否ok
		System.out.println("深度遍历");
		graph.dfs();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[5];
	}

	// 得到第一个邻接节点的下标
	/**
	 * 
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先遍历算法
	// i第一次就是 0
	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先访问该节点，输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		// 将节点设置为已访问
		isVisited[i] = true;

		// 查找节点i的第一个邻接节点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 说明有
			if (!isVisited[w]) {
				dfs(isVisited, w);
			}
			// 如果w节点已经被访问过
			w = getNextNeighbor(i, w);

		}
	}

	// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
	public void dfs() {
		// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 图 常用的方法
	// 返回节点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGrap() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到边的数目
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 插入节点
	public void inserVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @param v1     表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
	 * @param v2     表示第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}

}
//代码似乎有问题

运行结果：

4.2. 广度优先遍历

4.2.1. 基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) ：
????类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

4.2.2. 算法步骤

1. 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
2. 结点 v 入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点 u。
5. 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
6. 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
   6.2 结点 w 入队列
   6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

4.2.3. 代码实现

package graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

import javax.management.loading.PrivateClassLoader;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
	private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目

	// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {
		// 测试
		int n = 5;// 节点的个数
		String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String Vertex : Vertexs) {
			graph.inserVertex(Vertex);
		}
		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGrap();

		// 测试：dfs遍历是否ok
		System.out.println("深度遍历");
		graph.dfs();
		System.out.println();
		// 测试：bfs遍历是否ok
		System.out.println("广度遍历");
		graph.bfs();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;

	}

	// 得到第一个邻接节点的下标
	/**
	 * 
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先遍历算法
	// i第一次就是 0
	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先访问该节点，输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		// 将节点设置为已访问
		isVisited[i] = true;

		// 查找节点i的第一个邻接节点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 说明有
			if (!isVisited[w]) {
				dfs(isVisited, w);
			}
			// 如果w节点已经被访问过
			w = getNextNeighbor(i, w);

		}
	}

	// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
	public void dfs() {
		isVisited = new boolean[5];
		// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
	private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		int u;// 表示队列的头节点对应下标
		int w;// 邻接节点w
		// 队列：记录节点访问的顺序
		LinkedList queue = new LinkedList();
		// 访问节点，输出节点信息
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
		// 标记为已访问
		isVisited[i] = true;
		// 将节点加入队列
		queue.addLast(i);
		while (!queue.isEmpty()) {
			// 取出队列的头节点下标
			u = (Integer) queue.removeFirst();
			// 得到第一个邻接节点的下标w
			w = getFirstNeighbor(u);
			while (w != -1) {// 找到
				// 是否访问过
				if (!isVisited[w]) {
					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
					// 标记已经访问
					isVisited[w] = true;
					// 入队
					queue.addLast(w);
				}
				// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
				w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出广度优先

			}
		}
	}

	// 遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
	public void bfs() {
		isVisited = new boolean[5];
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				bfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 图 常用的方法
	// 返回节点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGrap() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到边的数目
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 插入节点
	public void inserVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @param v1     表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
	 * @param v2     表示第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}

}

运行结果：

4.3. 图的深度优先 VS 广度优先

上面的例子看不出深度优先遍历和广度优先遍历的区别，下面换一个例子进行演示：
问题情景：

深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

代码实现：

package graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

import javax.management.loading.PrivateClassLoader;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
	private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目

	// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {
		// 测试
		int n = 8;// 节点的个数
		String Vertexs[] = { "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };

		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String Vertex : Vertexs) {
			graph.inserVertex(Vertex);
		}
		// 添加边
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);
		graph.insertEdge(3, 7, 1);
		graph.insertEdge(4, 7, 1);
		graph.insertEdge(2, 5, 1);
		graph.insertEdge(2, 6, 1);
		graph.insertEdge(5, 6, 1);

		// 显示邻接矩阵
		graph.showGrap();

		// 测试：dfs遍历是否ok
		System.out.println("深度遍历");
		graph.dfs();
		System.out.println();
		// 测试：bfs遍历是否ok
		System.out.println("广度遍历");
		graph.bfs();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;

	}

	// 得到第一个邻接节点的下标
	/**
	 * 
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先遍历算法
	// i第一次就是 0
	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先访问该节点，输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		// 将节点设置为已访问
		isVisited[i] = true;

		// 查找节点i的第一个邻接节点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 说明有
			if (!isVisited[w]) {
				dfs(isVisited, w);
			}
			// 如果w节点已经被访问过
			w = getNextNeighbor(i, w);

		}
	}

	// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
	public void dfs() {
		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
		// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
	private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		int u;// 表示队列的头节点对应下标
		int w;// 邻接节点w
		// 队列：记录节点访问的顺序
		LinkedList queue = new LinkedList();
		// 访问节点，输出节点信息
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
		// 标记为已访问
		isVisited[i] = true;
		// 将节点加入队列
		queue.addLast(i);
		while (!queue.isEmpty()) {
			// 取出队列的头节点下标
			u = (Integer) queue.removeFirst();
			// 得到第一个邻接节点的下标w
			w = getFirstNeighbor(u);
			while (w != -1) {// 找到
				// 是否访问过
				if (!isVisited[w]) {
					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
					// 标记已经访问
					isVisited[w] = true;
					// 入队
					queue.addLast(w);
				}
				// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
				w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出广度优先

			}
		}
	}

	// 遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
	public void bfs() {
		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				bfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 图 常用的方法
	// 返回节点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGrap() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 得到边的数目
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 插入节点
	public void inserVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * 
	 * @param v1     表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
	 * @param v2     表示第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}

}

运行结果：