算数平均数、调和平均数、几何平均数的计算方法与应用场合

2023-12-23 19:25:52

一?定义

1、算数平均数：又称均值，是统计学中最基本，最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

2、调和平均数：又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算数平均数的倒数。分为数学调和平均数（数值倒数的平均数的倒数）和统计调和平均数（计算结果与加权算术平均数完全相等）。

3、几何平均数：几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。根据所拿掌握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

二?计算方法
1、算数平均数：

设一组数据为X1,X2,...,Xn,简单地算术平均数的计算公式为：

??M=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots + x_{n}}{n}

加权算术平均：主要用于处理经分组整理数据。

设原始数据被分成K组，各组的组中值为X1,X2,...Xk，各组的频数分别为f1,f2,...fk，加权算术平均数的计算公式为：

M=\frac{x_{1} \times f_{1} +x_{2} \times f_{2} +x_{3} \times f_{3} +\cdots + x_{n} \times f_{k} }{ f_{1} + f_{2} + f_{3} +\cdots + f_{k} }

2、调和平均数：

简单调和平均数是算术平均数的变形。

H_{n}= \frac{1}{ \frac{1}{n}{} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ x_{i}}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}} }

加权调和平均数：

H_{n}= \frac{1}{ \frac{1}{m_{1}+m_{2}+...+m_{n}}( \frac{1}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}}+ ... + \frac{n}{x_{n}}))} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} }{\sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{x_{i}}}

例如：某工厂购进材料三批，每批价格及采购金额资料如下表：

价格（元/千克）（x）采购金额（元）（m)采购数量（千克）(m/x)
第一批3510000286
第二批4020000500
第三批4515000330
合计-450001116

H_{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} }{\sum_{i=1}^{n} \frac{m_i}{x_{i}}} = \frac{45000}{1116} = 40.32

3、几何平均数：

简单几何平均数：

G = \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}

加权几何平均数：

G_{n} = \sum_{i=1}^{n} f_{i} \sqrt{ \prod_{i=1}^{n} x_{i}^{f_{i}} }

三?应用场合

1、算数平均数：适用于数值型数据，不适用于品质数据。根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

简单算术平均数适用于未分组的原始数据。加权平均数用于分组的数据。

2、调和平均数：可以用于计算平均速度，例：计算4x100米接力赛中，运动员的总体速度。

3、几何平均数：

1、对比率、指数等进行平均；

2、计算平均发展速度；

3、复利下的平均年利率；

4、连续作业的车间产品的平均合格率；

计算总水平、总成果等所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时，求各阶段、各环节的一般水平、一般成果，要使用几何平均法计算几何平均数。

四?特点
算术平均值是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小抽样变化的影响等特点。但是极易受极端数据的影响，每个数据的或大或小的变化都会影响最终结果。

调和平均数具有以下几个主要特点：

1、调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。

2、只要有一个标志值为0，就不能计算调和平均数。

3、当组距数列有开口组时，其组中值即使按照相邻组距计算，假定性也很大。

4、调和平均数应用的范围较小。

三者的关系：

调和平均数?≤ 几何平均数?≤ 算术平均数?≤ 平方平均数

摘自：

算数平均数、调和平均数、几何平均数的计算方法与应用场合 - 知乎 (zhihu.com)

文章来源:https://blog.csdn.net/asdcls/article/details/135167247
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