关于统计学的检验做一个总结【备查】

在统计的假设检验中，有许许多多的检验方法，各个方法适用于什么？具体的数理基础知识是什么？有哪些常见的检验方法做一个总结。

1.Z检验

Z检验是一种统计检验，用于确定两个样本均值之间的差异是否在统计上显著，特别是当样本量较大（通常 n > 30）时。Z检验假设总体方差是已知的，并假设数据呈正态分布。Z检验统计量的计算公式取决于检验的具体类型，例如单样本Z检验、两样本Z检验等。以下是一些常见的Z检验统计量的计算公式：

1.1 单样本Z检验（比较单个样本的均值与已知的总体均值）

$$Z=\frac{\bar{X}?\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

$\bar{X}$是样本均值，$\mu$是已知的总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$ 是样本大小。

1.2 两样本Z检验（比较两个独立样本的均值差异）：

$$Z=\frac{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}$$

?
$\overline{X_1}$和$\overline{X_2}$分别是两个样本的均值，${\sigma }_1^2$和${\sigma }_1^2$ 是两个总体的方差，$n_1$和$n_2$分别是两个样本的大小。

在实际应用中，由于总体方差往往是未知的，因此更常使用T检验而不是Z检验。如果总体方差未知且样本量较小，使用T检验更为合适。只有在总体方差已知或样本量非常大（大样本条件下，样本方差可以作为总体方差的良好估计）时，才适合使用Z检验。

2.T检验

.T统计量（T-statistic）通常用于假设检验中，特别是在T检验中。T统计量的计算公式依赖于测试的具体类型（例如单样本T检验、独立样本T检验、配对样本T检验等）。以下是一些常见的T统计量计算公式：

2.1 单样本T检验（检验样本均值与已知总体均值的差异）：

$$T=\frac{\bar{X}?\mu }{s/\sqrt{n}}$$
$\bar{X}$是样本均值，$\mu$ 是已知的总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。

2.2 独立样本T检验（比较两个独立样本均值的差异）：

$$T=\frac{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}{\sqrt{s_p^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$$
其中，${\bar{X}}_1$和${\bar{X}}_2$分别是两个样本的均值,$n_1$ 和 $n_2$是两个样本的大小,$s_p^2$是两个样本方差的合并估计。

2.3 配对样本T检验（比较两个相关或配对样本均值的差异）：

$$T=\frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}}$$
$\bar{D}$ 是差异得分的平均值（第一个样本的观察值与第二个样本的观察值之间的差），$S_D$是差异得分的标准差，$n$是差异得分的数量。

这些公式的应用取决于您的数据特点和检验目的。在使用这些公式之前，确保数据满足T检验的基本假设，如正态分布性和方差齐性（对于独立样本T检验）。

3.F检验统计量

F检验是一种用于比较两个样本方差的统计检验，通常用于方差分析（ANOVA），以检验两个或多个群体均值之间是否存在显著差异。F统计量的计算方式取决于你正在进行的特定类型的F检验，比如单因素ANOVA、双因素ANOVA等。下面是一些常见的F检验统计量的计算公式：

3.1 单因素ANOVA（用于比较三个或更多群体的均值）：

其中，
$M{S}_{between}$（组间均方）是组间方差的估计，即各组均值与总均值之差的平方和除以自由度（组数减1）。
$M{S}_{within}$（组内均方）是组内方差的估计，即各组内各个数据与该组均值之差的平方和除以相应的自由度（总样本数减组数）。

3.2 双因素ANOVA（用于比较两个独立因素对变量的影响）：

$$F=\frac{M{S}_{factor}}{M{S}_{error}}$$
?
其中，$M{S}_{factor}$是因素（比如处理方式、时间等）的均方，而$M{S}_{error}$是误差的均方。这里的具体计算方式会因设计（是否有重复、因素间是否有交互作用等）而异。

F检验的关键在于比较组间方差和组内方差。如果组间方差显著大于组内方差，F值会相对较大，这可能表明组间存在显著差异。在实际应用中，通常会使用统计软件来计算F值，并根据自由度和显著性水平查F分布表来确定统计显著性。

4. LR检验（似然比检验）、LM检验（拉格朗日乘数检验）和Wald检验

4.1 LR检验（似然比检验）

LR检验（似然比检验）:

用途：比较两个嵌套模型（即一个模型是另一个模型的特殊情况）的拟合优度。
原理：计算两个模型的对数似然函数值的差异。更具体地说，比较完整模型（没有参数限制）和受限模型（有参数限制）的对数似然值。
计算公式：

$$LR=?2(\ln (L_0)?\ln (L_1))$$

?
$L_0$和$L_1$分别是受限模型和完整模型的似然函数值。

4.2 LM检验

用途：检验模型中的参数约束是否成立，尤其适用于样本量较小时的线性模型。
原理：基于被约束模型的残差和无约束模型的参数估计。检验的核心是看在约束条件下模型残差是否显著增加。
计算公式：依赖于具体的模型和约束条件，通常涉及到残差和参数估计的梯度。

4.3 Wald检验

用途：用于检验一个或多个参数的值。
原理：比较估计参数与其假设值之间的差异，考虑到参数估计的标准误差。
计算公式：

$$Wald=(\hat{\theta }?{\theta }_0{)}^T?(\text{Var}(\hat{\theta }){)}^{?1}?(\hat{\theta }?{\theta }_0)$$

$\widehat{{\theta }_0}$ 是估计的参数向量，

?${\theta }_0$是假设的参数值，

$\text{var}(\widehat{{\theta }_0})$ 是参数估计的方差协方差矩阵。

这三种检验各有特点和适用条件。LR检验适用于大样本且对模型的分布假设不是很严格；LM检验适用于样本量较小且模型较简单的情况；而Wald检验适用于大样本和参数估计较为精确的情况。在实际应用中，需要根据具体的模型和数据选择最合适的检验方法。

5.其他检验

除了T检验、F检验和Z检验之外，还有许多其他的统计检验方法，它们用于不同类型的数据和不同的假设检验场景。以下是一些常见的统计检验：

5.1 卡方检验（Chi-Square Test）

用于检验类别数据的分布是否符合预期分布，或者两个类别变量之间是否独立。

5.2 Mann-Whitney U检验

一种非参数检验，用于比较两个独立样本的中位数是否存在显著差异。

5.3 Wilcoxon符号秩检验

用于比较两个相关样本、配对样本或重复测量数据的中位数差异。

5.4 Kruskal-Wallis H检验

非参数方法，用于比较三个或更多独立样本的总体中位数是否存在显著差异。

5.5 ANOVA（方差分析）

用于比较三个或更多样本均值的统计检验，分为单因素ANOVA和多因素ANOVA。

5.6 多重比较检验

如Tukey的HSD（诚实显著差异）测试，用于在ANOVA发现显著差异后，确定哪些组之间存在差异。

5.7 Fisher精确检验

当样本量较小时，用于检验两个类别变量之间是否独立的方法。

5.8 Spearman等级相关系数

用于衡量两个变量之间的非线性关系强度。

5.9 McNemar检验

用于相关或配对名义（分类）数据。

5.10 Cochran’s Q检验

用于比较三个或更多相关样本的名义（分类）数据。