计算智能 | 粒子群算法

2023-12-18 15:32:47

一、寻找非线性函数的最大值

这里我们使用python来求解《MATLAB智能算法30个案例分析》种第13章的内容。

我们使用基本粒子群算法寻找非线性函数

$f(x)=\frac{sin\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+e^{\frac{cos2\pi x+2\pi y}{2}}-2.71289$

的最大值。

在Python程序中，我们规定粒子数为20，每个粒子的维数为2，算法迭代进化次数为300，学习因子 $c_{1}=c_{2}=1.49445$ ，个体和速度的最大最小值分别为 $popmax=2,popmin=-2$ , $Vmax=0.5,Vmin=-0.5$ 。

Python代码如下：

import math
import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False

class PSO:

    def __init__(self,c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        '''
        self.c1=c1
        self.c2=c2
        self.Vmax=Vmax
        self.Vmin=Vmin
        self.popmax=popmax
        self.popmin=popmin
        self.n=n
        self.N=N
        self.m=m


    def function(self,X):
        '''
        :param X: 粒子的位置
        :return: 函数值
        '''
        f=math.sin(np.sqrt(X[0]**2+X[1]**2))/(np.sqrt(X[0]**2+X[1]**2))+math.exp((math.cos(2*math.pi*X[0])+math.cos(2*math.pi*X[1]))/2)-2.71289
        return f


    def initialpop(self):
        POP=[]
        V=[]
        for i in range(self.m):
            pop=[random.uniform(self.popmin,self.popmax) for j in range(self.n)]
            v=[random.uniform(self.Vmin,self.Vmax) for j in range(self.n)]
            POP.append(pop)
            V.append(v)
        return POP,V


    def PSO(self):

        #产生初始种群
        POP,V=self.initialpop()

        #初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i=POP

        #计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value=[]
        for i in range(self.m):
            value0=self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        #初始化种群的历史最优解
        index_max=np.argmax(Value)    #适应值最大的索引
        Value_max=Value[index_max]    #最大适应值
        p_g0=POP[index_max].copy()
        p_g=[]
        p_g.append(p_g0)

        #存储历史最大适应值
        history=[]
        history.append(Value_max)

        #基本粒子群算法
        for k in range(self.N):

            #对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j]=V[i][j]+self.c1*(random.uniform(0,1))*(p_i[i][j]-POP[i][j])+self.c2*(random.uniform(0,1))*(p_g[-1][j]-POP[i][j])
                    #界定值的大小
                    if V[i][j]>self.Vmax:
                        V[i][j]=self.Vmax
                    if V[i][j]<self.Vmin:
                        V[i][j]=self.Vmin

                    POP[i][j]=POP[i][j]+0.5*V[i][j]
                    #界定值的大小
                    if POP[i][j]>self.popmax:
                        POP[i][j]=self.popmax
                    if POP[i][j]<self.popmin:
                        POP[i][j]=self.popmin

            #对更新后的粒子计算适应度值
            value=[]
            for i in range(self.m):
                value0=self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            #更新后的最大适应值
            indexmax=np.argmax(value)
            valuemax=value[indexmax]

            #更新并存储历史最大适应值
            if valuemax>history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            #更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i]>Value[i]:
                    p_i[i]=POP[i].copy()
                    Value[i]=value[i]

        #输出最优解和最优函数值
        print("函数的最优解：{}\n最优函数值：{}".format(p_g[-1],history[-1]))

        #绘制函数的优化过程
        fig=plt.figure(facecolor="snow")
        plt.plot(range(self.N+1),history,color='plum')
        plt.title("函数的优化过程")
        plt.xlabel("代数")
        plt.ylabel("函数值")
        plt.grid()
        plt.show()


'''主函数'''
if __name__=="__main__":

    #最大迭代步数
    N=300

    #学习因子
    c1=1.49445
    c2=1.49445

    #种群规模
    m=20

    #数据维数
    n=2

    #个体和速度的最大最小值
    popmax=2
    popmin=-2
    Vmax=0.5
    Vmin=-0.5

    #创建对象
    pso=PSO(c1,c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m)

    #基本粒子群算法求解
    pso.PSO()

代码运行结果如下：

因此，函数的最优解为1.0051340460815172，对应的粒子位置为?

$\left ( -0.0012701504179166156,-0.0028172028382575515 \right )$

PSO算法寻优得到的最优值接近函数实际最优值，说明PSO算法具有较强的函数极值寻优能力。

二、惯性权重 $\omega$ 的影响

惯性权重 $\omega$ 体现的是粒子继承先前的速度的能力。一个较大的惯性权重有利于全局搜索，而一个较小的惯性权重则更有利于局部搜索。为了更好地平衡算法的全局搜索和局部搜索能力，可以使用线性递减惯性权重：

$\omega \left ( k \right )=\omega _{start}-\frac{\omega _{start}-\omega _{end}}{T_{max}}\times k$ ? ? ? ? ? ? ? ?(1)

?其中， $\omega _{start}$ 为初始惯性权重， $\omega _{end}$ 为迭代至最大次数时的惯性权重；k为当前迭代次数； $T_{max}$ 为最大迭代次数。一般来说，惯性权值 $\omega _{start}=0.9,\omega _{end}=0.4$ 时算法性能最好。这样，随着迭代的进行，惯性权重由0.9线性递减至0.4，迭代初期较大的惯性权重使算法保持了较强的全局搜索能力，而迭代后期较小的惯性权重有利于算法进行更精确的局部搜索。线性惯性权重只是一种经验做法，常用的惯性权重的选择还包括以下几种：

$\omega \left ( k \right )=\omega _{start}-(\omega_{start}-\omega_{end})(\frac{k}{T_{max}})^{2}$ ? ? ? ? ?(2)

$\omega (k)=\omega_{start}-(\omega_{start}-\omega_{end})[\frac{2k}{T_{max}}-(\frac{k}{T_{max}})^{2}]$ ? ? ? ?(3)

$\omega(k)=\omega_{end}(\frac{\omega_{start}}{\omega_{end}})^{1/(1+ck/T_{max})}$ ? ? ? ? (4)

?上面4种 $\omega$ 的动态变化如下图所示：

绘制上图的python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False

wmax=0.9
wmin=0.4
N=300
X=range(N+1)
Y1=[]
Y2=[]
Y3=[]
Y4=[]
for i in range(N+1):
    y1=wmax-(wmax-wmin)*i/N
    Y1.append(y1)
    y2=wmax-(wmax-wmin)*(i/N)**2
    Y2.append(y2)
    y3=wmax-(wmax-wmin)*(2*i/N-(i/N)**2)
    Y3.append(y3)
    y4=wmin*(wmax/wmin)**(1/(1+100*i/N))
    Y4.append(y4)

fig=plt.figure(facecolor="snow")
plt.plot(X,Y1,color="tomato",label="式（1）")
plt.plot(X,Y2,color="violet",label="式（2）")
plt.plot(X,Y3,color="royalblue",label="式（3）")
plt.plot(X,Y4,color="gold",label="式（4）")
plt.grid()
plt.legend()
plt.title("4种惯性权重w的变化")
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("权重值")
plt.show()

接下来，我们设置种群规模为20，进化300代，每个实验设置运行100次，将100次的平均值作为最终结果，在上述的参数设置下，运行5种对 $\omega$ 取值方法对函数进行求解，并比较所得解的平均值、失效次数和接近最优值的次数，来分析其收敛精度、收敛速度等性能。

python代码如下：

import math
import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False


'''基本粒子群算法'''
class PSO:

    def __init__(self,c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        '''
        self.c1=c1
        self.c2=c2
        self.Vmax=Vmax
        self.Vmin=Vmin
        self.popmax=popmax
        self.popmin=popmin
        self.n=n
        self.N=N
        self.m=m


    def function(self,X):
        '''
        :param X: 粒子的位置
        :return: 函数值
        '''
        f=math.sin(np.sqrt(X[0]**2+X[1]**2))/(np.sqrt(X[0]**2+X[1]**2))+math.exp((math.cos(2*math.pi*X[0])+math.cos(2*math.pi*X[1]))/2)-2.71289
        return f


    def initialpop(self):
        POP=[]
        V=[]
        for i in range(self.m):
            pop=[random.uniform(self.popmin,self.popmax) for j in range(self.n)]
            v=[random.uniform(self.Vmin,self.Vmax) for j in range(self.n)]
            POP.append(pop)
            V.append(v)
        return POP,V


    def PSO(self):

        #产生初始种群
        POP,V=self.initialpop()

        #初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i=POP

        #计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value=[]
        for i in range(self.m):
            value0=self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        #初始化种群的历史最优解
        index_max=np.argmax(Value)    #适应值最大的索引
        Value_max=Value[index_max]    #最大适应值
        p_g0=POP[index_max].copy()
        p_g=[]
        p_g.append(p_g0)

        #存储历史最大适应值
        history=[]
        history.append(Value_max)

        #基本粒子群算法
        for k in range(self.N):

            #对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j]=V[i][j]+self.c1*(random.uniform(0,1))*(p_i[i][j]-POP[i][j])+self.c2*(random.uniform(0,1))*(p_g[-1][j]-POP[i][j])
                    #界定值的大小
                    if V[i][j]>self.Vmax:
                        V[i][j]=self.Vmax
                    if V[i][j]<self.Vmin:
                        V[i][j]=self.Vmin

                    POP[i][j]=POP[i][j]+0.5*V[i][j]
                    #界定值的大小
                    if POP[i][j]>self.popmax:
                        POP[i][j]=self.popmax
                    if POP[i][j]<self.popmin:
                        POP[i][j]=self.popmin

            #对更新后的粒子计算适应度值
            value=[]
            for i in range(self.m):
                value0=self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            #更新后的最大适应值
            indexmax=np.argmax(value)
            valuemax=value[indexmax]

            #更新并存储历史最大适应值
            if valuemax>history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            #更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i]>Value[i]:
                    p_i[i]=POP[i].copy()
                    Value[i]=value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history

'''标准粒子群算法'''
class PSO_1(PSO):

    #继承父类PSO并重写
    def __init__(self,c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,w):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        :param w:惯性权重
        '''
        super().__init__(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m)
        self.w=w

    def PSO_1(self):

        #产生初始种群
        POP,V=self.initialpop()

        #初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i=POP

        #计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value=[]
        for i in range(self.m):
            value0=self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        #初始化种群的历史最优解
        index_max=np.argmax(Value)    #适应值最大的索引
        Value_max=Value[index_max]    #最大适应值
        p_g0=POP[index_max].copy()
        p_g=[]
        p_g.append(p_g0)

        #存储历史最大适应值
        history=[]
        history.append(Value_max)

        #标准粒子群算法
        for k in range(self.N):

            #对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j]=self.w*V[i][j]+self.c1*(random.uniform(0,1))*(p_i[i][j]-POP[i][j])+self.c2*(random.uniform(0,1))*(p_g[-1][j]-POP[i][j])
                    #界定值的大小
                    if V[i][j]>self.Vmax:
                        V[i][j]=self.Vmax
                    if V[i][j]<self.Vmin:
                        V[i][j]=self.Vmin

                    POP[i][j]=POP[i][j]+0.5*V[i][j]
                    #界定值的大小
                    if POP[i][j]>self.popmax:
                        POP[i][j]=self.popmax
                    if POP[i][j]<self.popmin:
                        POP[i][j]=self.popmin

            #对更新后的粒子计算适应度值
            value=[]
            for i in range(self.m):
                value0=self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            #更新后的最大适应值
            indexmax=np.argmax(value)
            valuemax=value[indexmax]

            #更新并存储历史最大适应值
            if valuemax>history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            #更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i]>Value[i]:
                    p_i[i]=POP[i].copy()
                    Value[i]=value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history


'''采用线性递减惯性权重的标准粒子群算法'''
class PSO_2(PSO):

    # 继承父类PSO并重写
    def __init__(self, c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m, wmax,wmin):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        :param wmax:惯性权重的最大值
        :param wmin:惯性权重的最小值
        '''
        super().__init__(c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m)
        self.wmax = wmax
        self.wmin=wmin

    #线性递减的惯性权重
    def LDIW(self,iter):
        '''
        :param iter: 迭代的次数值
        :return: 惯性权重值
        '''
        w=self.wmax-(self.wmax-self.wmin)*iter/self.N
        return w

    def PSO_2(self):

        # 产生初始种群
        POP, V = self.initialpop()

        # 初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i = POP

        # 计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value = []
        for i in range(self.m):
            value0 = self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        # 初始化种群的历史最优解
        index_max = np.argmax(Value)  # 适应值最大的索引
        Value_max = Value[index_max]  # 最大适应值
        p_g0 = POP[index_max].copy()
        p_g = []
        p_g.append(p_g0)

        # 存储历史最大适应值
        history = []
        history.append(Value_max)

        # 基本粒子群算法
        for k in range(self.N):

            #惯性权重
            w=self.LDIW(k+1)

            # 对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j] = w * V[i][j] + self.c1 * (random.uniform(0, 1)) * (
                                p_i[i][j] - POP[i][j]) + self.c2 * (random.uniform(0, 1)) * (p_g[-1][j] - POP[i][j])
                    # 界定值的大小
                    if V[i][j] > self.Vmax:
                        V[i][j] = self.Vmax
                    if V[i][j] < self.Vmin:
                        V[i][j] = self.Vmin

                    POP[i][j] = POP[i][j] + 0.5 * V[i][j]
                    # 界定值的大小
                    if POP[i][j] > self.popmax:
                        POP[i][j] = self.popmax
                    if POP[i][j] < self.popmin:
                        POP[i][j] = self.popmin

            # 对更新后的粒子计算适应度值
            value = []
            for i in range(self.m):
                value0 = self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            # 更新后的最大适应值
            indexmax = np.argmax(value)
            valuemax = value[indexmax]

            # 更新并存储历史最大适应值
            if valuemax > history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            # 更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i] > Value[i]:
                    p_i[i] = POP[i].copy()
                    Value[i] = value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history

'''采用式子（13-5）的惯性权重变化的标准粒子群算法'''
class PSO_3(PSO):
    # 继承父类PSO并重写
    def __init__(self, c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m, wmax, wmin):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        :param wmax:惯性权重的最大值
        :param wmin:惯性权重的最小值
        '''
        super().__init__(c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m)
        self.wmax = wmax
        self.wmin = wmin

    # 线性递减的惯性权重
    def w3(self, iter):
        '''
        :param iter: 迭代的次数值
        :return: 惯性权重值
        '''
        w = self.wmax-(self.wmax-self.wmin)*(iter/self.N)**2
        return w

    def PSO_3(self):

        # 产生初始种群
        POP, V = self.initialpop()

        # 初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i = POP

        # 计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value = []
        for i in range(self.m):
            value0 = self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        # 初始化种群的历史最优解
        index_max = np.argmax(Value)  # 适应值最大的索引
        Value_max = Value[index_max]  # 最大适应值
        p_g0 = POP[index_max].copy()
        p_g = []
        p_g.append(p_g0)

        # 存储历史最大适应值
        history = []
        history.append(Value_max)

        # 标准粒子群算法
        for k in range(self.N):

            # 惯性权重
            w = self.w3(k + 1)

            # 对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j] = w * V[i][j] + self.c1 * (random.uniform(0, 1)) * (
                            p_i[i][j] - POP[i][j]) + self.c2 * (random.uniform(0, 1)) * (p_g[-1][j] - POP[i][j])
                    # 界定值的大小
                    if V[i][j] > self.Vmax:
                        V[i][j] = self.Vmax
                    if V[i][j] < self.Vmin:
                        V[i][j] = self.Vmin

                    POP[i][j] = POP[i][j] + 0.5 * V[i][j]
                    # 界定值的大小
                    if POP[i][j] > self.popmax:
                        POP[i][j] = self.popmax
                    if POP[i][j] < self.popmin:
                        POP[i][j] = self.popmin

            # 对更新后的粒子计算适应度值
            value = []
            for i in range(self.m):
                value0 = self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            # 更新后的最大适应值
            indexmax = np.argmax(value)
            valuemax = value[indexmax]

            # 更新并存储历史最大适应值
            if valuemax > history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            # 更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i] > Value[i]:
                    p_i[i] = POP[i].copy()
                    Value[i] = value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history


'''采用式子（13-6）的惯性权重变化的标准粒子群算法'''
class PSO_4(PSO):

    # 继承父类PSO并重写
    def __init__(self, c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m, wmax, wmin):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        :param wmax:惯性权重的最大值
        :param wmin:惯性权重的最小值
        '''
        super().__init__(c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m)
        self.wmax = wmax
        self.wmin = wmin

    # 惯性权重
    def w4(self, iter):
        '''
        :param iter: 迭代的次数值
        :return: 惯性权重值
        '''
        w = self.wmax+(self.wmax-self.wmin)*(2*iter/self.N-(iter/self.N)**2)
        return w

    def PSO_4(self):

        # 产生初始种群
        POP, V = self.initialpop()

        # 初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i = POP

        # 计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value = []
        for i in range(self.m):
            value0 = self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        # 初始化种群的历史最优解
        index_max = np.argmax(Value)  # 适应值最大的索引
        Value_max = Value[index_max]  # 最大适应值
        p_g0 = POP[index_max].copy()
        p_g = []
        p_g.append(p_g0)

        # 存储历史最大适应值
        history = []
        history.append(Value_max)

        # 基本粒子群算法
        for k in range(self.N):

            # 惯性权重
            w = self.w4(k + 1)

            # 对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j] = w * V[i][j] + self.c1 * (random.uniform(0, 1)) * (
                            p_i[i][j] - POP[i][j]) + self.c2 * (random.uniform(0, 1)) * (p_g[-1][j] - POP[i][j])
                    # 界定值的大小
                    if V[i][j] > self.Vmax:
                        V[i][j] = self.Vmax
                    if V[i][j] < self.Vmin:
                        V[i][j] = self.Vmin

                    POP[i][j] = POP[i][j] + 0.5 * V[i][j]
                    # 界定值的大小
                    if POP[i][j] > self.popmax:
                        POP[i][j] = self.popmax
                    if POP[i][j] < self.popmin:
                        POP[i][j] = self.popmin

            # 对更新后的粒子计算适应度值
            value = []
            for i in range(self.m):
                value0 = self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            # 更新后的最大适应值
            indexmax = np.argmax(value)
            valuemax = value[indexmax]

            # 更新并存储历史最大适应值
            if valuemax > history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            # 更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i] > Value[i]:
                    p_i[i] = POP[i].copy()
                    Value[i] = value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history


'''采用式子（13-7）的惯性权重变化的标准粒子群算法'''
class PSO_5(PSO):

    # 继承父类PSO并重写
    def __init__(self, c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m, wmax, wmin,c):
        '''
        :param c1:自我学习因子
        :param c2:社会学习因子
        :param Vmax:速度最大值
        :param Vmin:速度最小值
        :param popmax:个体最大值
        :param popmin:个体最小值
        :param n:粒子的维度
        :param N:最大迭代步数
        :param m:种群大小
        :param wmax:惯性权重的最大值
        :param wmin:惯性权重的最小值
        :param c:惯性权重计算所需常数
        '''
        super().__init__(c1, c2, Vmax, Vmin, popmax, popmin, n, N, m)
        self.wmax = wmax
        self.wmin = wmin
        self.c=c

    # 惯性权重
    def w5(self, iter):
        '''
        :param iter: 迭代的次数值
        :return: 惯性权重值
        '''
        w = self.wmin*(self.wmax/self.wmin)**(1/(1+self.c*iter/self.N))
        return w

    def PSO_5(self):

        # 产生初始种群
        POP, V = self.initialpop()

        # 初始化每一个粒子的历史最优解
        p_i = POP

        # 计算初始种群每个粒子的函数适应值
        Value = []
        for i in range(self.m):
            value0 = self.function(POP[i])
            Value.append(value0)

        # 初始化种群的历史最优解
        index_max = np.argmax(Value)  # 适应值最大的索引
        Value_max = Value[index_max]  # 最大适应值
        p_g0 = POP[index_max].copy()
        p_g = []
        p_g.append(p_g0)

        # 存储历史最大适应值
        history = []
        history.append(Value_max)

        # 标准粒子群算法
        for k in range(self.N):

            # 惯性权重
            w = self.w5(k + 1)

            # 对每个粒子更新速度和位置
            for i in range(self.m):
                for j in range(self.n):
                    V[i][j] = w * V[i][j] + self.c1 * (random.uniform(0, 1)) * (
                            p_i[i][j] - POP[i][j]) + self.c2 * (random.uniform(0, 1)) * (p_g[-1][j] - POP[i][j])
                    # 界定值的大小
                    if V[i][j] > self.Vmax:
                        V[i][j] = self.Vmax
                    if V[i][j] < self.Vmin:
                        V[i][j] = self.Vmin

                    POP[i][j] = POP[i][j] + 0.5 * V[i][j]
                    # 界定值的大小
                    if POP[i][j] > self.popmax:
                        POP[i][j] = self.popmax
                    if POP[i][j] < self.popmin:
                        POP[i][j] = self.popmin

            # 对更新后的粒子计算适应度值
            value = []
            for i in range(self.m):
                value0 = self.function(POP[i])
                value.append(value0)

            # 更新后的最大适应值
            indexmax = np.argmax(value)
            valuemax = value[indexmax]

            # 更新并存储历史最大适应值
            if valuemax > history[-1]:
                history.append(valuemax)
                p_g.append(POP[indexmax].copy())
            else:
                history.append(history[-1])

            # 更新并存储每个粒子的历史最大适应值和位置
            for i in range(self.m):
                if value[i] > Value[i]:
                    p_i[i] = POP[i].copy()
                    Value[i] = value[i]

        #返回历史最优值列表
        return history


'''主函数'''
if __name__=="__main__":

    #最大迭代步数
    N=300

    #学习因子
    c1=1.49445
    c2=1.49445

    #种群规模
    m=20

    #数据维数
    n=2

    #个体和速度的最大最小值
    popmax=2
    popmin=-2
    Vmax=0.5
    Vmin=-0.5

    #惯性权重的初值和最终值
    wmax=0.9
    wmin=0.4


    pso1=PSO_1(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,wmax)
    avg_history1=[0 for i in range(N+1)]
    best1=[]  #每一次迭代得到的最优历史值
    for i in range(100):
        history1=pso1.PSO_1()
        best1.append(history1[-1])
        avg_history1=[avg_history1[j]+history1[j] for j in range(N+1)]
    avg_history1=[avg_history1[i]/100 for i in range(N+1)]

    pso2=PSO_2(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,wmax,wmin)
    avg_history2=[0 for i in range(N+1)]
    best2=[]  #每一次迭代得到的最优历史值
    for i in range(100):
        history2=pso2.PSO_2()
        best2.append(history2[-1])
        avg_history2=[avg_history2[j]+history2[j] for j in range(N+1)]
    avg_history2=[avg_history2[i]/100 for i in range(N+1)]

    pso3=PSO_3(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,wmax,wmin)
    avg_history3=[0 for i in range(N+1)]
    best3=[]   #每一次迭代得到的最优历史值
    for i in range(100):
        history3=pso3.PSO_3()
        best3.append(history3[-1])
        avg_history3=[avg_history3[j]+history3[j] for j in range(N+1)]
    avg_history3=[avg_history3[i]/100 for i in range(N+1)]

    pso4=PSO_4(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,wmax,wmin)
    avg_history4=[0 for i in range(N+1)]
    best4=[]  #每一次迭代得到的最优历史值
    for i in range(100):
        history4=pso4.PSO_4()
        best4.append(history4[-1])
        avg_history4=[avg_history4[j]+history4[j] for j in range(N+1)]
    avg_history4=[avg_history4[i]/100 for i in range(N+1)]

    pso5=PSO_5(c1,c2,Vmax,Vmin,popmax,popmin,n,N,m,wmax,wmin,c=100)
    avg_history5=[0 for i in range(N+1)]
    best5=[]  #每一次迭代得到的最优历史值
    for i in range(100):
        history5=pso5.PSO_5()
        best5.append(history5[-1])
        avg_history5=[avg_history5[j]+history5[j] for j in range(N+1)]
    avg_history5=[avg_history5[i]/100 for i in range(N+1)]

    #输出各种结果
    print("恒定惯性权重：")
    print("求得的最优值：{}".format(max(best1)))
    print("平均值：{}".format(avg_history1[-1]))
    m1=0 #陷入次优解次数
    n1=0 #接近最优解次数
    for i in range(100):
        if best1[i]<=0.8477:
            m1+=1
        else:
            n1+=1
    print("陷入次优解次数：{}".format(m1))
    print("接近最优解次数：{}".format(n1))

    print("------------------------------")
    print("式（1）：")
    print("求得的最优值：{}".format(max(best2)))
    print("平均值：{}".format(avg_history2[-1]))
    m2=0 #陷入次优解次数
    n2=0 #接近最优解次数
    for i in range(100):
        if best2[i]<=0.8477:
            m2+=1
        else:
            n2+=1
    print("陷入次优解次数：{}".format(m2))
    print("接近最优解次数：{}".format(n2))

    print("------------------------------")
    print("式（2）：")
    print("求得的最优值：{}".format(max(best3)))
    print("平均值：{}".format(avg_history3[-1]))
    m3=0 #陷入次优解次数
    n3=0 #接近最优解次数
    for i in range(100):
        if best3[i]<=0.8477:
            m3+=1
        else:
            n3+=1
    print("陷入次优解次数：{}".format(m3))
    print("接近最优解次数：{}".format(n3))

    print("------------------------------")
    print("式（3）：")
    print("求得的最优值：{}".format(max(best4)))
    print("平均值：{}".format(avg_history4[-1]))
    m4=0 #陷入次优解次数
    n4=0 #接近最优解次数
    for i in range(100):
        if best4[i]<=0.8477:
            m4+=1
        else:
            n4+=1
    print("陷入次优解次数：{}".format(m4))
    print("接近最优解次数：{}".format(n4))

    print("------------------------------")
    print("式（4）：")
    print("求得的最优值：{}".format(max(best5)))
    print("平均值：{}".format(avg_history5[-1]))
    m5=0 #陷入次优解次数
    n5=0 #接近最优解次数
    for i in range(100):
        if best5[i]<=0.8477:
            m5+=1
        else:
            n5+=1
    print("陷入次优解次数：{}".format(m5))
    print("接近最优解次数：{}".format(n5))

    #可视化
    fig=plt.figure(facecolor="snow")
    plt.plot(range(N+1),avg_history1,color="tomato",label="恒定惯性权重")
    plt.plot(range(N+1),avg_history2,color="plum",label="式（1）")
    plt.plot(range(N+1),avg_history3,color="skyblue",label="式（2）")
    plt.plot(range(N+1),avg_history4,color="lightgreen",label="式（3）")
    plt.plot(range(N+1),avg_history5,color="orange",label="式（4）")
    plt.grid()
    plt.legend()
    plt.title("不同惯性权重的收敛曲线")
    plt.xlabel("迭代次数")
    plt.ylabel("平均值")
    plt.show()

?程序运行结果如下：

在本次实验中，我们将0.8477及更小的值视为陷入局部最优的解。

从上述程序运行结果种可以看出，惯性权重 $\omega$ 不变的粒子群优化算法虽然具有较快的收敛速度，但其后期容易陷入局部最优，求解精度低；而几种 $\omega$ 动态变化的算法虽然在算法初期收敛稍慢，但在后期局部搜索能力强，利于算法跳出局部最优而求得最优解，提高了算法的求解精度。

式（2）中 $\omega$ 动态变化方法，前期 $\omega$ 变化较慢，取值较大，维持了算法的全局搜索能力；后期 $\omega$ 变化较快，极大地提高了算法的局部寻优能力，从而取得了很好的求解结果。

文章来源:https://blog.csdn.net/m0_70452407/article/details/135061306
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计算智能 | 粒子群算法

一、寻找非线性函数的最大值

二、惯性权重的影响

二、惯性权重 $\omega$ 的影响