秩与线性方程组的关系

2023-12-20 03:23:01

总览

1.无解：系数矩阵与其增广矩阵秩不相等

2.唯一解：系数矩阵秩的个数（也可以是其增广矩阵秩的个数，因为在有解情况下二者必定相等），等于未知数的个数，也就是矩阵列数减一

3.无穷多个解：系数矩阵秩的个数小于未知量的个数，也就是一些未知量可以由其他未知量线性表示

齐次线性方程组

1.对于齐次方程组，只存在只有0解和有无穷多个解的情况，不存在无解的情况，因为系数等于0，所以不存在系数矩阵和它的增广矩阵秩不相等的情况。

2.行列式等于0时有无穷解，不等于0时只有0解

3.除了依据第二条判断零解还是无穷解的情况，还可以通过系数矩阵的秩与矩阵列数的关系判断，零解时相等，矩阵列数大时有无穷解

非齐次线性方程组

1.对于非齐次线性方程组，其解的结构为对应齐次方程组的解和方程结果组成的向量，而这些齐次方程组的解必须线性无关（证明题需要），具体计算方法见笔者上一篇文章

2.在无解时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不相等，在唯一解时，系数矩阵的列数等于系数矩阵的秩，而在无穷解时，系数矩阵的列数大于矩阵的秩

3.证明某个向量同时为多个方程组的解，要以每个方程组解的身份去推同时为其他方程组的解，可能用到：如果一组向量可由另一组向量线性表示，那么第二组向量的个数大于等于第一组向量的秩

文章来源:https://blog.csdn.net/whcwhc111111/article/details/135077885
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