正定矩阵与半正定矩阵 、奇异矩阵
2023-12-26 17:30:22
一、正定矩阵与半正定矩阵
请问谁能用易于理解的语言解释下矩阵的正定及半正定? - 知乎
M为一个方阵
定义: 一个非零向量X,如果,那么我们就规定这个M方阵为正定矩阵
单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)
同理:
? 那么这个M矩阵为半正定矩阵
如何判别一个矩阵是不是正定矩阵
1、M的特征值都>0 ,那么这个矩阵为正定矩阵
2、M的特征值都<0 ,那么这个矩阵为半正定矩阵
正定矩阵的性质:
正定矩阵已经是一个非奇异矩阵(行列式不为0)
正定矩阵的代数余子式一定也是一个正定矩阵
如果矩阵M为一个正定矩阵,那么有M=L*Lt,也就是Cholesky分解
如果 A? B?是对称的正定矩阵,那么?A +B?也是正定矩阵
案例:
?为什么协方差矩阵要是半正定的?
二、奇异矩阵
定义:
? ? ? ?奇异矩阵(Singular Matrix)是一个方阵,其行列式的值为零。也可以说,如果一个矩阵的行列式等于零,则该矩阵为奇异矩阵。
性质:
1. 非满秩:行列式为0 那么一定是非满秩 ,矩阵中的行向量或列向量存在一定的线性相关性。
2. 没有逆矩阵:奇异矩阵是不可逆的,不可分解
3. 零空间非零:奇异矩阵的零空间(Null Space)不为空,即存在非零向量使得与奇异矩阵相乘结果为零向量。这是因为奇异矩阵存在线性相关的行向量或列向量。
奇异矩阵在线性方程组求解、矩阵分解和特征值计算等问题中具有重要的意义。例如,对于线性方程组,当系数矩阵为奇异矩阵时,该方程组可能无解或有无穷多解;在矩阵分解中,奇异矩阵无法进行LU分解或Cholesky分解等常见的分解方法;在特征值计算中,奇异矩阵的特征值一般不易求解。
为逆矩阵
?非奇异矩阵(Non-singular Matrix)
非奇异矩阵(Non-singular Matrix)是指行列式不为零的方阵。非奇异矩阵具有满秩、可逆和零空间为空的特点,因此在各种数学和工程应用中更常见和有用。
SVD分解
文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_39354845/article/details/135221611
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