正定矩阵与半正定矩阵 、奇异矩阵

2023-12-26 17:30:22

一、正定矩阵与半正定矩阵

请问谁能用易于理解的语言解释下矩阵的正定及半正定? - 知乎

M为一个方阵

定义: 一个非零向量X,如果X^{T}MX>=0,那么我们就规定这个M方阵为正定矩阵

单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)

同理:

X^{T}MX<0? 那么这个M矩阵为半正定矩阵

如何判别一个矩阵是不是正定矩阵

1、M的特征值都>0 ,那么这个矩阵为正定矩阵

2、M的特征值都<0 ,那么这个矩阵为半正定矩阵

正定矩阵的性质:

正定矩阵已经是一个非奇异矩阵(行列式不为0)

正定矩阵的代数余子式一定也是一个正定矩阵

如果矩阵M为一个正定矩阵,那么有M=L*Lt,也就是Cholesky分解

如果 A? B?是对称的正定矩阵,那么?A +B?也是正定矩阵

线性代数之——正定矩阵 - 知乎

浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」

案例:

?为什么协方差矩阵要是半正定的?

二、奇异矩阵

定义:

? ? ? ?奇异矩阵(Singular Matrix)是一个方阵,其行列式的值为零。也可以说,如果一个矩阵的行列式等于零,则该矩阵为奇异矩阵。

性质:

1. 非满秩:行列式为0 那么一定是非满秩 ,矩阵中的行向量或列向量存在一定的线性相关性。

2. 没有逆矩阵:奇异矩阵是不可逆的,不可分解

3. 零空间非零:奇异矩阵的零空间(Null Space)不为空,即存在非零向量使得与奇异矩阵相乘结果为零向量。这是因为奇异矩阵存在线性相关的行向量或列向量。

奇异矩阵在线性方程组求解、矩阵分解和特征值计算等问题中具有重要的意义。例如,对于线性方程组,当系数矩阵为奇异矩阵时,该方程组可能无解或有无穷多解;在矩阵分解中,奇异矩阵无法进行LU分解或Cholesky分解等常见的分解方法;在特征值计算中,奇异矩阵的特征值一般不易求解。

为逆矩阵

伪逆矩阵 的使用-CSDN博客

?非奇异矩阵(Non-singular Matrix)

非奇异矩阵(Non-singular Matrix)是指行列式不为零的方阵。非奇异矩阵具有满秩、可逆和零空间为空的特点,因此在各种数学和工程应用中更常见和有用。

SVD分解

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奇异值分解(SVD)原理总结

SVD 奇异值分解_左奇异矩阵和右奇异矩阵-CSDN博客

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_39354845/article/details/135221611
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