每周一算法:连续子序列的和
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题目描述
给出一个长度为 n n n 的序列 a a a,选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
输入格式
第一行是一个整数,表示序列的长度 n n n。
第二行有 n n n 个整数,第 i i i 个整数表示序列的第 i i i 个数字 a i a_i ai?。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
7
2 -4 3 -1 2 -4 3
样例输出 #1
4
提示
样例 1 解释
选取 [ 3 , 5 ] [3, 5] [3,5] 子段 { 3 , ? 1 , 2 } \{3, -1, 2\} {3,?1,2},其和为 4 4 4。
数据规模与约定
- 对于 40 % 40\% 40% 的数据,保证 n ≤ 2 × 1 0 3 n \leq 2 \times 10^3 n≤2×103。
- 对于 100 % 100\% 100% 的数据,保证 1 ≤ n ≤ 2 × 1 0 5 1 \leq n \leq 2 \times 10^5 1≤n≤2×105, ? 1 0 4 ≤ a i ≤ 1 0 4 -10^4 \leq a_i \leq 10^4 ?104≤ai?≤104。
算法思想
求序列中连续且非空的一段,使得这段和最大,求和的最大值可以使用动态规划的思想来处理。
状态表示
f [ i ] f[i] f[i]表示所有以 i i i为右端点的连续子段和的最大值。
最终答案为所有 f [ i ] f[i] f[i]的最大值。
状态计算
从最后一步分析,按照连续子段的长度进行分类:
- 子段长度为 1 1 1,即只包含 1 1 1个数,此时和为 a [ i ] a[i] a[i]
- 子段长度为 2 2 2,包含 2 2 2个数,此时和为 a [ i ? 1 ] + a [ i ] a[i-1]+a[i] a[i?1]+a[i]
- 子段长度为 3 3 3,包含 3 3 3个数,此时和为 a [ i ? 2 ] + a [ i ? 1 ] + a [ i ] a[i-2]+a[i-1]+a[i] a[i?2]+a[i?1]+a[i]
- …
- 子段长度为 i i i,包含 i i i个数,此时和为 a [ 1 ] + a [ 2 ] + . . . + a [ i ? 1 ] + a [ i ] a[1]+a[2]+...+a[i-1]+a[i] a[1]+a[2]+...+a[i?1]+a[i]
f [ i ] f[i] f[i]应取应取以上情况的最大值。
不难看出,从第 2 2 2项开始,每一项都加上了 a [ i ] a[i] a[i],把 a [ i ] a[i] a[i]提取出来,就变成求 { a [ i ? 1 ] , a [ i ? 2 ] + a [ i ? 1 ] , . . . , a [ 1 ] + a [ 2 ] + . . . + a [ i ? 1 ] } \{a[i-1], a[i-2]+a[i-1],...,a[1]+a[2]+...+a[i-1]\} {a[i?1],a[i?2]+a[i?1],...,a[1]+a[2]+...+a[i?1]}的最大值再加上 a [ i ] a[i] a[i],即 f [ i ? 1 ] + a [ i ] f[i-1]+a[i] f[i?1]+a[i]。因此 f [ i ] = m a x { a [ i ] , f [ i ? 1 ] + a [ i ] } f[i]=max\{a[i],f[i-1]+a[i]\} f[i]=max{a[i],f[i?1]+a[i]}
初始状态
f [ 0 ] f[0] f[0]表示前 0 0 0项和的最大值,应尽可能小,由于序列中每一项的范围是 ? 1 0 4 ≤ a i ≤ 1 0 4 -10^4 \leq a_i \leq 10^4 ?104≤ai?≤104,存在负数,因此可以让 f [ 0 ] = ? 1 e 9 f[0]=-1e9 f[0]=?1e9。
时间复杂度
- 状态数为 n n n
- 状态计算的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1),总的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)
代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N], f[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
//初始状态
f[0] = -1e9;
int ans = -1e9;
//状态计算
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = max(a[i], f[i - 1] + a[i]);
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans;
return 0;
}
空间优化
根据状态转移方程, f [ i ] = m a x { a [ i ] , f [ i ? 1 ] + a [ i ] } f[i]=max\{a[i],f[i-1]+a[i]\} f[i]=max{a[i],f[i?1]+a[i]},可以发现 f [ i ] f[i] f[i]只与 f [ i ? 1 ] f[i-1] f[i?1]相关,因此不需要用数组存储所有状态,只用一个变量滚动存储即可。
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
//初始状态
int f = -1e9, ans = -1e9;
//状态计算
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f = max(a[i], f + a[i]);
ans = max(ans, f);
}
cout << ans;
return 0;
}
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