数据结构之---- 堆、建堆操作、Top?K 问题

数据结构之---- 堆、建堆操作、Top?K 问题

什么是堆？

堆是一种满足特定条件的完全二叉树

主要可分为两种类型：

• 大顶堆：任意节点的值 ≥ 其子节点的值。
• 小顶堆：任意节点的值 ≤ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。

堆常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。
从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。

堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改Comparator来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 ≥ 替换为 ≤ ）

1. 堆的存储与表示

在二叉树章节中讲到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如图所示，给定索引 𝑖 ，其左子节点索引为 2𝑖 + 1 ，右子节点索引为 2𝑖 + 2 ，父节点索引为 (𝑖 ? 1)/2（向下取整）。
当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。

/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
	return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
	return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
	return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

2. 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
	return maxHeap.get(0);
}

3. 元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。
因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化 。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。

如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。
然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

设节点总数为 𝑛 ，则树的高度为 𝑂(log 𝑛) 。
由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 𝑂(log 𝑛) ，元素入堆操作的时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) 。

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
	// 添加节点
	maxHeap.add(val);
	// 从底至顶堆化
	siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
	while (true) {
		// 获取节点 i 的父节点
		int p = parent(i);
		// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
		if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
			break;
		// 交换两节点
		swap(i, p);
		// 循环向上堆化
		i = p;
	}
}

4. 堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。
如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。
然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。










与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 𝑂(log 𝑛) 。

/* 元素出堆 */
int pop() {
	// 判空处理
	if (isEmpty())
		throw new IndexOutOfBoundsException();
	// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
	swap(0, size() - 1);
	// 删除节点
	int val = maxHeap.remove(size() - 1);
	// 从顶至底堆化
	siftDown(0);
	// 返回堆顶元素
	return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
	while (true) {
		// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
		int l = left(i), r = right(i), ma = i;
		if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
			ma = l;
		if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
			ma = r;
		// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
		if (ma == i)
			break;
		// 交换两节点
		swap(i, ma);
		// 循环向下堆化
		i = ma;
	}
}

堆常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 𝑂(log 𝑛)，而建队操作为 𝑂(𝑛) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
• 获取最大的 𝑘 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

什么是建堆操作?

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

1. 借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行入堆操作，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行从底至顶堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是自上而下地构建的。

设元素数量为 𝑛 ，每个元素的入堆操作使用 𝑂(log 𝑛) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛)。

2.通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步:

1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。
而由于是倒序遍历，因此堆是 自下而上 地被构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化。
如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
	// 将列表元素原封不动添加进堆
	maxHeap = new ArrayList<>(nums);
	// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
	for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
		siftDown(i);
	}
}

3.复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

• 假设完全二叉树的节点数量为 𝑛 ，则叶节点数量为 (𝑛 + 1)/2 ，其中 / 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 (𝑛 ? 1)/2 。
• 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 log 𝑛 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 𝑛 ，高度为 ? 的完美二叉树，该假设不会影响计算结果的正确性。

如上图所示，节点从顶至底堆化的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是节点高度。
因此，我们可以将各层的节点数量 × 节点高度求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 𝑇(?) 乘以 2 ，得到：

使用错位相减法，用下式 2𝑇(?) 减去上式 𝑇(?) ，可得：

观察上式，发现 𝑇(?) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

进一步地，高度为 ? 的完美二叉树的节点数量为 𝑛 = 2^?+1 ? 1 ，易得复杂度为 𝑂(2^?
) = 𝑂(𝑛) 。
以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，非常高效。

什么是Top?K 问题？

给定一个长度为 𝑛 无序数组 nums ，请返回数组中前 𝑘 大的元素。
对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

方法一：遍历选择

我们可以进行下图所示的 𝑘 轮遍历，分别在每轮中提取第 1、2、…、𝑘 大的元素，时间复杂度为 𝑂(𝑛𝑘) 。
此方法只适用于 𝑘 ? 𝑛 的情况，因为当 𝑘 与 𝑛 比较接近时，其时间复杂度趋向于 𝑂(𝑛²) ，非常耗时。

当 𝑘 = 𝑛 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

如图所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 𝑘 个元素，时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。
显然，该方法 超额 完成任务了，因为我们只需要找出最大的 𝑘 个元素即可，而不需要排序其他元素。

方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top?K 问题，流程如图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 𝑘 个元素依次入堆。
3. 从第 𝑘 + 1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 𝑘 个元素。

总共执行了 𝑛 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 𝑘 ，因此时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑘) 。该方法的效率很高，
当𝑘 较小时，时间复杂度趋向 𝑂(𝑛) ；
当 𝑘 较大时，时间复杂度不会超过 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。
另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。
在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 𝑘 个元素的动态更新。

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
	// 初始化小顶堆
	Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
	// 将数组的前 k 个元素入堆
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		heap.offer(nums[i]);
	}
	// 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
	for (int i = k; i < nums.length; i++) {
		// 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
		if (nums[i] > heap.peek()) {
			heap.poll();
			heap.offer(nums[i]);
		}
	}
	return heap;
}

总结

• 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
• 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
• 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 𝑂(log 𝑛)、堆顶元素出堆 𝑂(log 𝑛) 和访问堆顶元素 𝑂(1) 等。
• 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
• 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
• 输入 𝑛 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 𝑂(𝑛) ，非常高效。
• Top?K 是一个经典算法问题，可以使用堆数据结构高效解决，时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑘)。

Q & A

数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？

两者不是同一个概念，只是碰巧都叫堆。
计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。
程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。
当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄露。
相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，不恰当的使用可能会导致内存泄露和野指针等问题。