除法求值[中等]

一、题目

给你一个变量对数组equations和一个实数值数组values作为已知条件，其中equations[i] = [Ai, Bi]和values[i]共同表示等式Ai / Bi = values[i]。每个Ai或Bi是一个表示单个变量的字符串。另有一些以数组queries表示的问题，其中queries[j] = [Cj, Dj]表示第j个问题，请你根据已知条件找出Cj / Dj = ?的结果作为答案。返回 所有问题的答案 。如果存在某个无法确定的答案，则用-1.0替代这个答案。如果问题中出现了给定的已知条件中没有出现的字符串，也需要用-1.0替代这个答案。

注意：输入总是有效的。你可以假设除法运算中不会出现除数为0的情况，且不存在任何矛盾的结果。

注意：未在等式列表中出现的变量是未定义的，因此无法确定它们的答案。

示例 1：

输入：equations = [["a","b"],["b","c"]], values = [2.0,3.0], queries = [["a","c"],["b","a"],["a","e"],["a","a"],["x","x"]]
输出：[6.00000,0.50000,-1.00000,1.00000,-1.00000]
解释：
条件：a / b = 2.0, b / c = 3.0
问题：a / c = ?, b / a = ?, a / e = ?, a / a = ?, x / x = ?
结果：[6.0, 0.5, -1.0, 1.0, -1.0 ]
注意：x是未定义的=> -1.0

示例 2：

输入：equations = [["a","b"],["b","c"],["bc","cd"]], values = [1.5,2.5,5.0], queries = [["a","c"],["c","b"],["bc","cd"],["cd","bc"]]
输出：[3.75000,0.40000,5.00000,0.20000]

示例 3：

输入：equations = [["a","b"]], values = [0.5], queries = [["a","b"],["b","a"],["a","c"],["x","y"]]
输出：[0.50000,2.00000,-1.00000,-1.00000]

1 <= equations.length <= 20
equations[i].length == 2
1 <= Ai.length, Bi.length <= 5
values.length == equations.length
0.0 < values[i] <= 20.0
1 <= queries.length <= 20
queries[i].length == 2
1 <= Cj.length, Dj.length <= 5
Ai,Bi,Cj,Dj由小写英文字母与数字组成

二、代码

广度优先搜索： 我们可以将整个问题建模成一张图：给定图中的一些点（变量），以及某些边的权值（两个变量的比值），试对任意两点（两个变量）求出其路径长（两个变量的比值）。因此，我们首先需要遍历equations数组，找出其中所有不同的字符串，并通过哈希表将每个不同的字符串映射成整数。

在构建完图之后，对于任何一个查询，就可以从起点出发，通过广度优先搜索的方式，不断更新起点与当前点之间的路径长度，直到搜索到终点为止。

class Solution {
    public double[] calcEquation(List<List<String>> equations, double[] values, List<List<String>> queries) {
        int nvars = 0;
        Map<String, Integer> variables = new HashMap<String, Integer>();

        int n = equations.size();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!variables.containsKey(equations.get(i).get(0))) {
                variables.put(equations.get(i).get(0), nvars++);
            }
            if (!variables.containsKey(equations.get(i).get(1))) {
                variables.put(equations.get(i).get(1), nvars++);
            }
        }

        // 对于每个点，存储其直接连接到的所有点及对应的权值
        List<Pair>[] edges = new List[nvars];
        for (int i = 0; i < nvars; i++) {
            edges[i] = new ArrayList<Pair>();
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int va = variables.get(equations.get(i).get(0)), vb = variables.get(equations.get(i).get(1));
            edges[va].add(new Pair(vb, values[i]));
            edges[vb].add(new Pair(va, 1.0 / values[i]));
        }

        int queriesCount = queries.size();
        double[] ret = new double[queriesCount];
        for (int i = 0; i < queriesCount; i++) {
            List<String> query = queries.get(i);
            double result = -1.0;
            if (variables.containsKey(query.get(0)) && variables.containsKey(query.get(1))) {
                int ia = variables.get(query.get(0)), ib = variables.get(query.get(1));
                if (ia == ib) {
                    result = 1.0;
                } else {
                    Queue<Integer> points = new LinkedList<Integer>();
                    points.offer(ia);
                    double[] ratios = new double[nvars];
                    Arrays.fill(ratios, -1.0);
                    ratios[ia] = 1.0;

                    while (!points.isEmpty() && ratios[ib] < 0) {
                        int x = points.poll();
                        for (Pair pair : edges[x]) {
                            int y = pair.index;
                            double val = pair.value;
                            if (ratios[y] < 0) {
                                ratios[y] = ratios[x] * val;
                                points.offer(y);
                            }
                        }
                    }
                    result = ratios[ib];
                }
            }
            ret[i] = result;
        }
        return ret;
    }
}

class Pair {
    int index;
    double value;

    Pair(int index, double value) {
        this.index = index;
        this.value = value;
    }
}

时间复杂度： O(ML+Q?(L+M))，其中M为边的数量，Q为询问的数量，L为字符串的平均长度。构建图时，需要处理M条边，每条边都涉及到O(L)的字符串比较；处理查询时，每次查询首先要进行一次O(L)的比较，然后至多遍历O(M)条边。
空间复杂度： O(NL+M)，其中N为点的数量，M为边的数量，L为字符串的平均长度。为了将每个字符串映射到整数，需要开辟空间为O(NL)的哈希表；随后，需要花费O(M)的空间存储每条边的权重；处理查询时，还需要O(N)的空间维护访问队列。最终，总的复杂度为O(NL+M+N)=O(NL+M)。

【2】Floyd 算法： 对于查询数量很多的情形，如果为每次查询都独立搜索一次，则效率会变低。为此，我们不妨对图先做一定的预处理，随后就可以在较短的时间内回答每个查询。在本题中，我们可以使用Floyd算法，预先计算出任意两点之间的距离。

class Solution {
    public double[] calcEquation(List<List<String>> equations, double[] values, List<List<String>> queries) {
        int nvars = 0;
        Map<String, Integer> variables = new HashMap<String, Integer>();

        int n = equations.size();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!variables.containsKey(equations.get(i).get(0))) {
                variables.put(equations.get(i).get(0), nvars++);
            }
            if (!variables.containsKey(equations.get(i).get(1))) {
                variables.put(equations.get(i).get(1), nvars++);
            }
        }
        double[][] graph = new double[nvars][nvars];
        for (int i = 0; i < nvars; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], -1.0);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int va = variables.get(equations.get(i).get(0)), vb = variables.get(equations.get(i).get(1));
            graph[va][vb] = values[i];
            graph[vb][va] = 1.0 / values[i];
        }

        for (int k = 0; k < nvars; k++) {
            for (int i = 0; i < nvars; i++) {
                for (int j = 0; j < nvars; j++) {
                    if (graph[i][k] > 0 && graph[k][j] > 0) {
                        graph[i][j] = graph[i][k] * graph[k][j];
                    }
                }
            }
        }

        int queriesCount = queries.size();
        double[] ret = new double[queriesCount];
        for (int i = 0; i < queriesCount; i++) {
            List<String> query = queries.get(i);
            double result = -1.0;
            if (variables.containsKey(query.get(0)) && variables.containsKey(query.get(1))) {
                int ia = variables.get(query.get(0)), ib = variables.get(query.get(1));
                if (graph[ia][ib] > 0) {
                    result = graph[ia][ib];
                }
            }
            ret[i] = result;
        }
        return ret;
    }
}

时间复杂度： O(ML+N3+QL)。构建图需要O(ML)的时间；Floyd算法需要O(N^3)的时间；处理查询时，单次查询只需要O(L)的字符串比较以及常数时间的额外操作。
空间复杂度： O(NL+N^2)。