最优化考试之黄金分割法

2023-12-20 18:00:44

前言

最近要考最优化了,感觉时间有点赶,所以就直接学了解题方法,没去学习具体的原理了。
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一、黄金分割法

1.解题条件

一般来说,题目会给出以下初始条件

  1. 条件函数f(x)
  2. 起始区间 [a0,b0]
  3. 精度要求L

2.解题形式

先看下表格形式,我们解题就是在下列表格内不断迭代直至|a-b|<=L

迭代次数abx1x2f(x1)f(x2)|a-b|
  1. a、b代表每次迭代时的左右区间;
  2. x1、x2分别代表每次迭代的左右试点(这部分计算就会用到黄金分割);
  3. f(x1)、f(x2)分别代表左右试点的函数值,根据二者大小决定下一次迭代更新左端点a还是右端点b;
  4. |a-b|代表达到的结果精度,当它小于等于L时迭代结束。

3.解题过程

  1. 第一次迭代将初始点a0、a0作为a、b值;
  2. 计算当前a、b绝对值之差,如果小于等于精度范围L,停止迭代;
  3. 计算左试点x1,公式如下 在这里插入图片描述
  4. 计算右试点x2,公式如下
    在这里插入图片描述
    5.分别计算f(x1)、f(x2)值,比较二者大小;
    若f(x1)大于f(x2),则更新下一次迭代的a为x1;
    若f(x2)大于f(x1),则更新下一次迭代的b为x2;
    总而言之,就是哪边试点的函数值大下一次就更新哪边的端点。
    6.迭代次数加一,回到第2步。

4.案例

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这是网上找的一道题目,字写的丑就不丢人了,这道题没有具体说明它的精度范围,我就自行定义了精度范围为0.05,大家可以根据第三节的过程来跟着运算一下,最终写在纸张上的形式应该和下面代码结果截图的形式基本一样。
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二、K-T点求解

1.问题形式

直接拿道题来举例子,以下是我们要求的目标函数f(x),我们希望找到它的最小值。
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而它的约束如下,约束有等式也会有不等式,这里等式不用多说,直接用即可,主要是不等式的处理,我们要处理成统一的约束函数形式,这里的约束函数g(x)都小于等于0。
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2.转化形式

对约束不等式g(x)进行合理的转化

min f(X)max f(X)
g(X)<=0g(X)>=0

3.解题过程

  1. 构建拉格朗日函数,将目标函数放进去,再将约束函数乘以对应的拉格朗日乘子λ放入;
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  2. K_T条件约束如下
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    3.对拉格朗日函数L求参数x1、x2的偏导,如下所示
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  3. 这里就需要讨论一下λ _2是否等于0的情况了;
  4. 当λ _2等于0时,算得x1、x2结果为4、-1,不满足约束x1+x2<=2;
  5. 当λ_2不等于0,即x1+x2=2,算得x1、x2结果为1/2、3/2,约束条件均成立;
  6. 因此x=(1/2,3/2)为最优解,f=1/2是最小值。

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_43575792/article/details/135104874
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