详解布朗运动（Brown Motion）

2023-12-31 19:32:15

布朗运动最早由生物学家布朗（1827）年定性地提出。布朗发现，花粉在水面上受到来自水分子四面八方的冲击时，花粉所呈现出来的宏观的运动形态是非常不规则的。即在任意短的时间之内，它的运动都是不可预测的。

后头的人们对布朗运动有了深入的了解，最主要的是来自爱因斯坦（1905）：从概率的角度仔细地研究了扩散过程中粒子运行的统计规律，而扩散过程正是布朗运动的核心。按照爱因斯坦的推导，粒子运动服从扩散方程，扩散方程作为偏微分方程，它的解刚好是高斯。也就从那时候起，人们就已经把布朗运动与高斯过程紧密地联系在了一起。

后面一个值得提到的人是维纳（Wiener）。维纳在1930年的时候非常仔细地研究了布朗运动，并且奠定了布朗运动现代理论的基石。维纳对布朗运动做出的很多推断直到今天我们都在使用并且没有进行更多的改进。所以从某种意义上讲，我们现在所学习到的关于布朗运动的知识基本都是属于维纳的。

当然，还有一个人的名字必须提到，那就是法国的 Levy，Levy对布朗运动的贡献也是巨大的。

1. 布朗运动的几种定义（Definition）

1.1. 第一种定义：

$1.\ B(0)=0\\ 2.\ \mbox{Independent Increment}\\ 3.\ B(t)-B(s)\sim N(0,\sigma^2(t-s))\\ 4.\ \mbox{Sample Path Continuous}:\ t\to B(\omega,t)$

第四点在给定样本w时，B(w,t)是关于t的连续函数。
独立增量+增量服从高斯分布一定能够得出高斯过程，证明过程很如下：
高斯过程是用多维高斯来定义的： $\forall n, \forall t_1,...,t_n, (B(t_1),...,B(t_n))^T\sim \boldsymbol{N}$
$\begin{pmatrix} B(t_n)-B(t_{n-1})\\ B(t_{n-1})-B(t_{n-2})\\ \cdot \cdot \cdot \\ B(t_1)-B(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&-1&&&\\ &1&-1&&\\ &&1&-1&\\ &&&\cdot \cdot \cdot\\ &&&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B(t_n)\\ B(t_{n-1})\\ \cdot \cdot \cdot \\ B(t_1)\\ B(0) \end{pmatrix}$
等式左边各个分量都是独立高斯，合起来也就是联合高斯，高斯经过线性变换（同时左乘右边第一个可逆矩阵的逆）还是高斯。

1.2. 第二种定义：

$1.\ B(0)=0\\ 2.\ \mbox{Gaussian Process}\\ 3.\ E(B(t))=0, \ E(B(t)B(s))=\sigma^2\min\{t,s\} \\ 4.\ \mbox{Sample Path Continuous}:\ t\to B(\omega,t)$

第三条相关函数取t,s的最小值，说明它已经是正交增量了。而高斯过程保证了正交即为独立。两个随机变量正交，当然他们不一定独立，但是如果两个随机变量正交且都服从高斯分布，它们之间就独立了。

1.3. 第三种定义：

$1.\ B(0)=0\\ 2.\ \mbox{Independent and Stationary Increment}\\ 3.\ E(B(t))=0, \ E(B(t)B(s))=\sigma^2\min\{t,s\} \\ 4.\ \mbox{Sample Path Continuous}:\ t\to B(\omega,t)$

第三种定义更加深刻，它认为第二种定义里的第二点高斯过程给的条件有点多了，只需额外保证平稳增量就行了（因为高斯过程本来就具备平稳增量）。第二点平稳增量说的是：B(t)-B(s)~G(t-s)，即两个时刻的差值只依赖于两个时刻的差值。

事实上，具备独立且平稳增量的随机过程只有两种情况：高斯过程+泊松过程。它们的差异体现在样本轨道的连续与否。高斯过程的样本轨道是连续的，而泊松过程不是。

2. 布朗运动的性质

2.1. 几个小练习：

$\mbox{Ex}1:\ B(t) \sim BM,\sigma^2=1\\\\ B(3)-B(0)\sim N(0,3), E(B(3))=0, Var(B(3))=3$

$\mbox{Ex}2:\ B(t) \sim BM,\sigma^2=1,B(2)=4\\\\ E(B(4)|B(2)=4)=E(B(4)-B(2)+B(2)|B(2)=4)=\\\\E(B(4)-B(2)|B(2)=4)+E(B(2)|B(2)=4)\\\\ E(B(4)-B(2))+4=0+4=B(2)$

Ex2 暗示了一种赌场公平规则：以当前的状态为条件，预测未来任何一个时间点，期望值都与当前状态别无二致。满足赌场公平规则的随机过程统称为鞅（Martingale）。

$\mbox{Ex}3:\ B(t) \sim BM,\sigma^2=1,B(2)=4\\\\ P(B(4)>5|B(2)=4)=P(B(4)-B(2)+B(2)>5|B(2)=4)\\\\ \because B(4)|B(2)=4\sim N(4,2)\\\\ \therefore P(B(4)>5|B(2)=4)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\int_{5}^{\infty}\textup{exp}(-\frac{(t-4)^2}{4})dt$

$\mbox{Ex}4:\ B(t) \sim BM,\ \frac{1}{c}B(c^2t)=Y(t) \sim BM?\\\\ 1.\ Y(0)=0\\ 2.\ \forall n, \forall t_1,...,t_n, (Y(t_1),...,Y(t_n))^T=\frac{1}{c}(B(c^2t_1),...,B(c^2t_n))^T\sim \boldsymbol{N}\\ 3.\ E(Y(t))=\frac{1}{c}E(B(c^2t))=0,\\ \ E(Y(t)Y(s))=\frac{1}{c^2}E(B(c^2t)B(c^2s))=\frac{1}{c^2}\textup{min}\{c^2t,c^2s\}=\textup{min}\{t,s\}$

说明尺度变换，还是布朗运动。

$\mbox{Ex}5:\ B(t) \sim BM,\ tB(\frac{1}{t})=Y(t) \sim BM?\\\\ 1.\ Y(0)=0\\ 2.\ \forall n, \forall t_1,...,t_n,\forall \lambda_1,...,\lambda_n \textup{not all zero}, \\\because \lambda_1Y(t_1)+...+\lambda_nY(t_n)=\lambda_1t_1B(\frac{1}{t_1})+...+ \lambda_nt_nB(\frac{1}{t_n})\sim N \\\therefore (Y(t_1),...,Y(t_n))^T\sim \boldsymbol{N} \\ 3.\ E(Y(t))=tE(B(\frac{1}{t}))=0,\\ \ E(Y(t)Y(s))=E(tsB(\frac{1}{t})B(\frac{1}{s}))=ts\textup{min}\{\frac{1}{t},\frac{1}{s}\}=\textup{min}\{t,s\}$

说明时间倒转，还是布朗运动。

2.2. Levy（1935）的工作：

根据微积分定理：连续函数在有限闭区域上必有最大值，令

$M(t)=\max\limits_{0\leq s\leq t}B(s)$

了解M(t)，对于股票市场来说即了解股票取得最大值的相关性质，虽然很有必要，但是这一点我们很难做到。于是Levy朝着另外一个方向思考，他提出了一个概念：击中时间（Hitting Time）：

$T_x=\min\{s:B(s)=x\} \ ,\textup{Hitting Time}$

Levy提出M(t)和Tx之间存在某种事件的等价性：

$P(M(t)>x)=P(T_x<t)$ ?

即随机过程在0-t之内取得最大值大于x的概率等于首次到达x的时间小于t的概率。（不得不说，这才是真正的随机过程思考方式，即发现事件在概率上的等价性）

$B(t)=B(t)-B(T_x)+B(T_x)=B(t)-B(T_x)+x\sim N(x,\sigma^2(t-T_x))$

Levy观察到B(t)服从以x为均值的高斯分布，也就是关于x是对称的。也就是说B(t)在Tx时刻开始已经在x了，接着是往上走还是往下走，是等概率的：

$P(B(t)>t|T_x<t)=P(B(t)<t|T_x<t)=\frac{1}{2}$

这被称作为：反射Trick（Reflection Trick）

$P(B(t)>x)=\\P(B(t)>x|T_x<t)P(T_x<t)+P(B(t)>x|T_x\geq t)P(T_x\geq t)=\\ P(B(t)>x|T_x<t)P(T_x<t)=\frac{1}{2}P(T_x<t)\\ \\ \Rightarrow P(T_x<t)=P(M(t)>x)=2P(B(t)>x),\ B(t)\sim N(0,\sigma^2 t)\\\\ \Rightarrow F_{T_x}(t)=P(T_x<t)=2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{t}}\int_{x}^{\infty}\textup{exp}(-\frac{s^2}{2\sigma^2 t})\textup{ds}$

?自此，游戏结束，不得不说Levy的工作做的确实很漂亮。揭示了布朗运动的最大值与布朗运动之间的紧密联系。

2.3. Wiener的贡献：

维纳主要提出了布朗运动的二次变差（Quadratic Variation）性质：

$B(t)\sim N(0,t), \ E(B^2(t))=t$

维纳想要做的就是把这条性质做一个精细化：

$[0,t]\to(0,\frac{t}{n},\frac{2t}{n},...,\frac{(n-1)t}{n},t),\\Let \ (B(\frac{kt}{n})-B(\frac{(k-1)t}{n}))=\Delta B(\frac{k}{n}),(k=1,...,n)$

Wiener试图说明增量的平方和最终趋近于的是时间的线性函数：

$\lim\limits_{n\to \infty } \sum_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^2\stackrel{m.s}{\to}t$

即证明：

$\lim\limits_{n\to \infty } E(\sum_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-t)^2\stackrel{m.s}{\to}0$

证明过程如下：?

$\lim\limits_{n\to \infty } E(\sum_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-t)^2=\\ \lim\limits_{n\to \infty } E(\sum_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-\sum_{k=1}^n\frac{t}{n})^2=\\ \lim\limits_{n\to \infty } E(\sum_{k=1}^n[(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-\frac{t}{n}])^2=\\ \lim\limits_{n\to \infty } E(\sum\limits_{k=1}^n[(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-\frac{t}{n}]^2+\sum\limits_{i\neq j}[(\Delta B(\frac{i}{n}))^2-\frac{t}{n}][(\Delta B(\frac{j}{n}))^2-\frac{t}{n}])=\\ \lim\limits_{n\to \infty } E(\sum\limits_{k=1}^n[(\Delta B(\frac{k}{n}))^2-\frac{t}{n}]^2)=\\ \lim\limits_{n\to \infty } E(\sum\limits_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^4-2\sum\limits_{k=1}^n(\Delta B(\frac{k}{n}))^2\frac{t}{n}+\sum\limits_{k=1}^n(\frac{t}{n})^2) \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n (E(\Delta B(\frac{k}{n}))^4-(\frac{t}{n})^2) ,\ (\Delta B(\frac{k}{n})\sim N(0,\frac{t}{n})) \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n (3(\frac{t}{n})^2-(\frac{t}{n})^2) ,\ (X\sim N(0,\sigma^2),E(X^4)=3\sigma^4) \\ =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2t^2}{n}=0$

2.4. 伊藤公式（Ito Formula）

由于布朗运动是二次变差，而不是有界变差，这就跟正常微积分的要求有些不一样了，因为正常微积分里要求有界变差。??这样一来微积分产生了某种本质性的变化：

原本，根据一阶微分不变性有：

$g(t,B(t))\to dg(t,B(t))=\frac{\partial g}{\partial t}dt+\frac{\partial g}{\partial B}dB$

但实际上，做到这里还不够，因为dB是dt的半阶项：

$dB=B(t+dt)-B(t)\sim N(0,dt), \ E(B(t+dt)-B(t))^2=dt\\ \\\Rightarrow dB\sim \sqrt{dt}$

原本求导是想挖掘? $g$ ?的变化与 $t$ ?的变化之间的线性依赖。换句话说，是这个 $t$ ?变化会多大程度上影响 $g$ ?变化。而现在 $dB$ ?既然是关于 $dt$ ?的半阶项，那么也就是说才挖到 $\sqrt dt$ ，那么还没有完全把? $dt$ ?挖掘出来。

在随机过程当中，我们要建立一套新的微积分体系，我们称作随机微积分。

随机微积分的核心在于，我们要通过对布朗运动自身特性的深刻理解跟认识，改变现有的微积分的基本规则。这反映在泰勒展开上，也就是要多展开一项：

$g(t,B(t))\to dg(t,B(t))=\frac{\partial g}{\partial t}dt+\frac{\partial g}{\partial B}dB +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 g}{\partial B^2}dt$

?这就是伊藤公式（Ito Formula）（1944）。伊藤清是随机微积分之父。

顺带一提1944年是个什么年份。1944年6月份，美军攻克了塞班岛，B29轰炸机就有了前线基地，从1944年6月份开始美军开始大规模地对日本本土进行战略轰炸。所以伊藤清他的工作是冒着从天而落的如雨点般的炸弹做出来的，你可以想象这个人的定力有多好，在那样的环境当中能做出这样质量的工作。

我们通过一个小例子来体会一下伊藤公式的用法：

$d(\frac{1}{2}B^2(t))=B(t)dB(t)+\frac{1}{2}dt\\\\ \Rightarrow B(t)dB(t)=d(\frac{1}{2}B^2(t))-\frac{1}{2}dt\\\\ \Rightarrow \int_0^1B(t)dB(t)=\frac{1}{2}B^2(t)|_0^1-\frac{1}{2}t|_0^1=\frac{1}{2}B^2(1)-\frac{1}{2}$

2.5. Black-Scholes-Merton方程

金融学的核心是在考虑股票价格的波动规律。对于某一支股票而言，人们很早就注意到了它与布朗运动之间的联系：Bachelier(1900)（师从庞加莱(Poincaré)）提出，股票价格的运动就可以用布朗运动进行刻画。

直到1930's 萨缪尔森(Samuelson)认为Bachelier的观点很好，但是有一个瑕疵，布朗运动是个高斯过程，所以有可能小于0，但是价格怎么可能小于0。于是Samuelson对股票价格S(t)的表达形式做出了如下的改进：

$S(t)=\textup{exp}(\mu t+B(t))$

? $\mu t$ ?表示股票价格应当有一个趋势（当然这个趋势有可能会发生变化），而非完全随机乱动。（现在人们认为他说的是真对）

时间来到了1970's，Black、Scholes、Merton三个人研究金融衍生物（Derivative）的价格，并不直接研究股票价格，衍生物的价格跟股票价格是有关系的，比方说衍生物的价格就可以写成这么个样子： $V(t,S(t))$ 一方面跟当前时刻的股票价格有关，另一方面，又会形成自己的关于时间的发展规律。

期权就是典型的衍生物：直接买卖股票风险很大，因为一旦你买定离手，你就像摆在案板上的鱼一样，等着别人来切割了。因为你没有任何风险规避手段。于是人们就开始琢磨这件事情：比如今天一支股票的价格为一块钱，我现在很看好这支股票，我觉得它肯定会涨，而我知道你手里有这支股票，我就跟你商量，我买你一个权利：我明天不管这只股票涨到多少钱，我都只能以1.1元来跟你交易。你就开始琢磨是否要卖给我这个权利，如果你卖给我，那么我此时会面临两种结果：一种是明天这支股票真的涨到1.2元了，我用1.1跟你交易我赚了你亏了。但是你又不全亏，因为你今天就以0.1元先把这个权利卖给我了。所以其实你是没亏的。另一种情况，这支股票跌倒了0.8元，此时我肯定不会来找你用1.1买那支股票了。对于你来说，虽然你的股票价格跌导致你损了，但是你从我这里收货了0.1元的期权的收益，能让你又往回补了一些。这样一算，你怎样都不算亏。对于我来说，如果明天股票涨，我能赚，但因为买了期权所以赚的没那么high。如果明天股票跌，我大不了不买，买期权的这点亏损也不算什么，赔的不算惨。双方达成了一种风险中性（Risk Neutral）的状态。只要不出局，你就一直有机会，靠的就是控制风险，调节风险的杠杆。

现在研究期权的公价：V(t,S(t))。采用对冲（Hedge）策略：卖股票，买期权。风险会进一步降低。于是我的资产组合：

$V(t,S(t))-\alpha S(t)=P(t)$

它需要能跑过无不确定性的稳定收益，即来自银行利率。

$dP(t)=r\cdot P\cdot dt$

于是就有：

$dP(t)=d(V(t,S(t))-\alpha S(t))=dV(t,S(t))-\alpha dS(t)\\\\ =\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S^2dt-\alpha dS, \ [dS=S(\mu dt+dB);(dS)^2=S^2dt]\\\\ =r(V-\alpha S)dt$

我们要让 $dS$ ?全部消掉，因为最后的结果不能存在不确定性，让确定性的收益浮出水面，令 $\alpha =\frac{\partial V}{\partial S}$ ，也就是我的对冲策略：卖 $\alpha$ 份股票，来买一份期权。最后整理一下

$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S^2, =r(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)$

$\Rightarrow \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV=0$

这里因为假设布朗运动的? $\sigma^2=1$ ，换成一般的形式，

就是大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton方程：

$\Rightarrow \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV=0$

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_55252589/article/details/135315297
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