【PID学习笔记 9 】控制系统的分析方法之二

2023-12-13 04:51:59

写在前面

前文重点介绍时域分析法、本文将继续学习控制系统的另外几种分析方法,包括根轨迹法、频率分析法、状态空间分析法。再次强调,在这里只是做了一个系统化的概述,目的是让学习PID,特别是用PID的工程人员有一个对基础知识的再次复习巩固。如果你是为考学,则需要更深入系统学习的。

目录紧接上文。

一、控制系统的基本分析方法

1.3 根轨迹法

由于以前求解高阶系统特征比较困难,从而限制了时域分析法在高阶系统的应用。根轨迹法是通过系统开环传递函数寻求其闭环特征根的方法,它是一种图解的方法,根据系统闭环根轨迹图,不仅可以判别系统的稳定性,而且还可以分析系统的动态品质,从而为改善及设计系统提供依据

  • 所谓根轨迹,是指当系统开环传递函数的某个参数(如开环增益 K K K)由零到无穷大变化时,闭环特征根在 s s s平面上移动所画出的轨迹

  • 利用根轨迹分析系统的动态性能

    • 当控制系统在 K K K由零到无穷大变化时,其闭环特征根是变化的,只要 K K K值确定后,闭环的根也确定了,系统的动态品质也确定了。
    • 闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系
      • 要求系统稳定,必须使所有的闭环极点 s i s_i si?均位于 s s s平面的左半部。
      • 要求系统快速性好,应使闭环极点远离虚轴。
      • 要求系统平稳性好,则复数极点最好设置在 s s s平面中与负实轴成 ± 45 ±45 ±45度夹角附近。
      • 要求动态过程尽快消失,则须使闭环极点之间的距离加大,零点应靠近极点。
    • 主导极点——离虚轴最近的闭环极点(复数极点或实数极点),对系统动态性能影响最大,起着决定性的作用。把这种极点称为主导极点。

      一般,其它极点的实部比主导极点的实部绝对值大5倍(粗略估算时2-3倍)以上时,则那些极点的作用可以忽略。工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。

    • 偶极子——某闭环极点与闭环零点的距离比它们的模值小一个数量极或更小,则称它们为偶极子。

      偶极子概念对控制系统的综合设计很有用,可以有意识地在系统中加入适当的闭环零点,构成偶极子,以抵消对动态性能影响较大的不利极点,使系统的动态过程变好。

1.4 频率分析法

频率法是经典控制理论中一种重要的分析系统品质的方法,分析问题的依据是系统的另一种数学模型——频率特性模型

  • 频域分析法特点

    • ⑴ 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律;
    • ⑵ 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能;
    • ⑶ 频率分析法为图解分析法;
    • ⑷ 它有一定的近似性。
  • 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。在这种情况下,系统的输入信号是正弦信号,系统的内部信号以及系统的输出信号也都是稳态的正弦信号,这些信号的频率相同,幅值和相角则各不相同

  • 一个稳定的系统,假设有一正弦信号输入
    r ( t ) = A r s i n w t r(t)=A_rsinwt r(t)=Ar?sinwt

  • 在稳态情况下,系统的输出信号以及系统所有其它点的信号均为正弦信号,则稳态输出可写为:
    c ( t ) = A c s i n ( w t + ? ) c(t)=A_csin(wt+\phi) c(t)=Ac?sin(wt+?)

  • 频域特性

    • 保持输入信号振幅 A r A_r Ar?不变,逐次改变输入信号的频率 ω \omega ω,则可得到一系列稳态输出的振幅 A c A_c Ac? 及相位 ? \phi ?,把振幅的比值 M M M随频率变化的特性称为幅频特性,把相位 ? \phi ?随频率变化的特性称为相频特性,二者统称为频率特性。

M = A c A r M=\frac{A_c}{A_r} M=Ar?Ac??

  • 频率分析法即利用系统的频率特性来进行分析。

1.5 状态空间分析法

  • 状态空间的基本概念

    • (1)状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态状态)的一个最小变量组,它是时间的函数。所谓最小变量组是指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
    • (2)状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量组的每一个变量。
    • (3)状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要 n n n个状态变量 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,…,x_n x1?,x2?,,xn?,用这n个状态变量作为分量所构成的向量,就称为该系统的状态向量。
    • (4)状态空间 以各状态变量 x 1 , x 2 … , x n x_1,x_2…,x_n x1?,x2?,xn?为坐标轴所组成的 n n n维空间称为状态空间。

  • 控制系统的状态空间描述——状态空间表达式

    • (1)状态方程 系统输出引起状态的变化,它是一个运动过程,描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表征为系统状态变量变化率的一阶微分方程组。各方程的左端分别是每一个状态变量的一阶导数,右端是状态变量和输入变量所组成的代数多项式。
    • (2)输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下,该输出变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定输出的变化,这是一个变换过程,所以输出方程的数学形式表征为一个变换关系的代数方程。
    • (3)状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来,构成一个系统动态的完整描述,称为系统的状态空间表达式(或称动态方程)。
    • (4)状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来,它能形象地反映系统输入、输出和系统状态变量之间的相互关系。
  • 状态空间表达式的建立

    • (1)根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见的控制系统,就其物理属性而言,有电气的、机械的、机电的、液压的、热力的等等。根据其物理定律,如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等,即可建立系统的状态方程;当指定系统的输出后,可写出系统的输出方程。
    • (2)根据系统的传递函数建立状态空间表达式 由系统传递函数求其相应的状态空间表达式。
  • 状态空间方程的能控能观性判定方法

    • 格拉姆矩阵判据
    • 秩判据
    • PBH判据
    • 约当标准型判据
  • 状态空间方程的稳定性判定方法

    • 李雅普诺夫第一法(又称间接法)
    • 李雅普诺夫第二法(又称直接法)

下节预告

至此,控制系统的基础知识已经全部介绍完成了,从下节开始,我们正式开始讲解PID算法。


本节完

要有自信,然后全力以赴 —— 假如有这种信念,任何事情十有八九都能成功。


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文章来源:https://blog.csdn.net/u010916762/article/details/134891983
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