动态规划——分组背包问题

写在前面

由于本人实力尚浅，接触算法没多久，写这篇blog仅仅是想要提升自己对算法的理解，如果各位读者发现什么错误，恳请指正，希望和大家一起进步。(●’?’●)
如果没看过我前面关于01背包问题（良心正解）和完全背包问题（良心正解）以及多重背包问题（超详细版）的宝宝可以先去看看，可以让你对动态规划的理解更透彻

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DP核心思路

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分组背包问题

题目

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思路

重要变量说明
f[][[]:用于状态表示；
w[][]：记录每个物品的价值；
v[][]：记录每个物品的体积；

1. 定义二维数组f[][],其中f[i][j]表示在前i个组的物品中，背包容积为j的限制下所能装下的最大价值。这里的f[i][j]就是做法的集合，f[i][j]的值就是最大价值即属性。
2. 从i=1开始枚举，对于第i个组，都有一定数量的选择：
   • 不选择第i个组中所有物品，状态转移方程为f[i][j]=f[i-][j]
   • 选择第1个组中的第一个物品，状态转移方程为f[i][j]=f[i-1][j-v[i][1]]+w[i][1]
   • 选择第2个组中的第一个物品，状态转移方程为f[i][j]=f[i-1][j-v[i][2]]+w[i][2]
   • ......
   • 选择第k个物品（k为第i组中最后一个物品），状态转移方程为f[i][j]=f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]
3. 我们因为要求最大价值，所以对上面两种情况去max即可。

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代码（未优化，二维数组）

#include<iostream>

using namespace std;
const int N=110;

int v[N][N],w[N][N],cnt[N],f[N][N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>cnt[i];
        for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)       //i表示第i组，从1开始枚举，直到n
        for(int j=1;j<=m;j++)       //j表示当前背包容积，从1开始枚举，直到m
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];      //如果不选第i组的所有的物品
            for(int k=1;k<=cnt[i];k++)      //k表示第i组中第k个物品
                if(v[i][k]<=j)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
        }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

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优化（降低空间复杂度）

根据我们之前学的01背包问题（良心正解）和完全背包问题（良心正解）以及多重背包问题（超详细版），我们知道二维数组可以优化成一维数组

#include<iostream>

using namespace std;
const int N=110;

int v[N][N],w[N][N],cnt[N],f[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>cnt[i];
        for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            for(int k=0;k<=cnt[i];k++)
                if(v[i][k]<=j)
                    f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
        }
    cout<<f[m]<<endl;
}

写在最后

如果你觉得我写题解还不错的，请各位王子公主移步到我的其他题解看看
数据结构与算法部分（还在更新中）：
C++ STL总结 - 基于算法竞赛（强力推荐）
动态规划——01背包问题
动态规划——完全背包问题
动态规划——多重背包问题
最短路算法——Dijkstra（C++实现）
最短路算法———Bellman_Ford算法（C++实现）
最短路算法———SPFA算法（C++实现）
最小生成树算法———prim算法（C++实现）
最小生成树算法———Kruskal算法（C++实现）
染色法判断二分图（C++实现）
Linux部分（还在更新中）：
Linux学习之初识Linux
Linux学习之命令行基础操作

?🎉总结

“种一颗树最好的是十年前,其次就是现在”
所以,
“让我们一起努力吧,去奔赴更高更远的山海”

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