从零学算法5

2023-12-20 17:48:20

5.给你一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。
如果字符串的反序与原始字符串相同,则该字符串称为回文字符串。
示例 1:
输入:s = “babad”
输出:“bab”
解释:“aba” 同样是符合题意的答案。
示例 2:
输入:s = “cbbd”
输出:“bb”

  • 暴力解法。无非就是双重循环,截取出所有子串,判断是否为回文串,然后取最大值。稍微优化一下,如果此时子串长度小于当前最长的回文子串 max 就直接跳过,当前子串长度为 j - i +1
  •   String s;
      public String longestPalindrome(String s) {
          this.s = s;
          int n = s.length();
          // start:最长回文子串起始下标
          int max = 0,start = 0;
          for(int i=0;i<n;i++){
              for(int j=i;j<n;j++){
                  if(j-i+1 < max)continue;
                  if(isPalindrome(i,j)){
                      max = Math.max(max, j-i+1);
                      start = i;
                  }
              }
          }
          return s.substring(start, start+max);
      }
      public boolean isPalindrome(int i,int j){
      // 根据回文串对称的性质从左右两端往中间找,有不一样的就不是
          while(i<j){
              if(s.charAt(i++)!=s.charAt(j--))return false;
          }
          return true;
      }
    
  • 中心扩散法。遍历 s 的每个下标,以其为中心点向两边扩散,看是否为相同字符,就能得到以该点为中心的回文串。但是回文串不一定为奇数长度,即中心点处长度不一定为 1,比如 abccba,中心点处其实为 cc,所以就在扩散时定义初始左右起点为这两个字符的下标即可。
  •   public String longestPalindrome(String s) {
          int n = s.length();
          int max = 0,start = 0;
          for(int mid=0;mid<n;mid++){
              if(n-mid<max/2)break;
              int i=mid,j=mid;
              //有相同的点就移动初始右端点
              // 为什么不需要移动左端点?看下面 mid = j 部分
              while(j<n-1 && s.charAt(j)==s.charAt(j+1))j++;
              // i~j 这一段的点作为中心处已经在这一轮考虑过,所以之后直接跳过即可
              // 同时这也保证了下一轮 i 初始化为 mid 时,i 的左边不会和 i 处字符重复
              // 相当于在上一轮就移动了左端点,遍历顺序为从左到右,所以首轮左处无端点无需处理
              mid = j;
              // 向两端延伸求最大回文串长度
              while(i>0 && j<n-1 && s.charAt(i-1)==s.charAt(j+1)){
                  i--;
                  j++;
              }
      		// 更新最大值和最大回文子串起始下标
              if(j-i+1>max){
                  max = j-i+1;
                  start=i;
              }
          }
          return s.substring(start, start+max);
      }
    
  • 动态规划法。根据上面中心扩散法判断回文串的方式,可以大致看到动态规划的雏形。假定 boolean dp[left][right] 表示子串 s[left:right] 是否为回文串。那么从 dp[left][right] 为 true 开始,如果 s.charAt(left-1)==s.charAt(right+1),就可以得到 dp[left-1][right+1] 为 true,即 dp[l][r] = dp[l+1][r-1] && s.charAt(l-1)==s.charAt(r+1)。得到递推公式以后还需要确定一下边界条件。以下 s.charAt(left) 我就简写成 s[left] 了,如果 s[left]!=s[right],说明当前子串左右两端字符不相同,那么你怎么都不会是回文串;如果相同,那么当子串长度小于等于 3 时,你一定是回文串,比如 aba,bb,a,否则就根据 dp[left + 1][right - 1] 递推。
  • 考虑到dp[left][right] 依赖 dp[left + 1][right - 1] 的特性,比如 dp[0][3],要先知道 dp[1][2] ,那 left 在外层遍历是肯定不可能先得到 dp[1][x] 再得到 dp[0][x] 的,所以遍历顺序需要调整为外层为 right,内层为 left
  •   public String longestPalindrome(String s) {
          int n = s.length();
          boolean[][] dp = new boolean[n][n];
          int max = 0,start = 0;
          for(int j=0;j<n;j++){
              for(int i=0;i<=j;i++){
                  if(s.charAt(i)!=s.charAt(j))continue;
                  if(j-i<3)dp[i][j]=true;
                  else dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
                  if(dp[i][j] && j-i+1>max){
                      max = j-i+1;
                      start=i;
                  }
              }
          }
          return s.substring(start, start+max);
      }
    
  • 长度为 1 的子串肯定是回文串,所以还可以根据这点稍微优化一下
  •   int max = 1,start = 0;
      for(int j=1;j<n;j++){
          for(int i=0;i<j;i++){
    
  • 马拉车算法(Manacher):回文串有奇数 aba 和偶数 abba 两种形式,使用马拉车算法,会在字符串的每两个字符间以及字符首尾加上一个特殊字符,这样最终字符串长度都会为奇数,同时,原本的每个回文串的长度也会都变成奇数,以上面两个字符串为例就可以证明
  • aba->*a*b*a*
  • abba->*a*b*b*a*
  • 其实就是奇数加偶数必定为奇数
  • 再引用一个变量回文半径,表示回文串左边或右边到中心点的长度,比如 *a*b*a* 回文半径为 *a*b 或者 b*a* 的长度也就是 4, *a*b*b*a* 回文半径为 5
  • 铺垫完毕,进入正题,中心扩散法每次换一个中心点,都要重新计算此时以 i 点为中心点的回文串长度,而马拉车在中心扩散法的基础上改进,可以利用之前的结果。
  • 因为遍历顺序是从左到右,所以我们取之前的回文串结果中右边界最大的一个,利用它推出当前以 i 为中心的回文串长度。我们就假设之前的那个结果中心点为 maxCenter,左右端点为 left 和 maxRight。我们根据 i 的位置划分出不同情况下怎么推出当前结果
    1. i < maxRight,那么以 maxCenter 为对称中心对称过去的点 j 肯定在 left 到 maxCenter,如果以 j 为中心点得到的回文串也在 left 到 maxCenter 之内,那根据对称的性质,i 对应的结果和 j 对应的一样,下图顺便说明了得到 j 点的计算公式,把 left 带入 0 为例子比较容易推导, p[] 为回文串半径数组
      请添加图片描述

    2. i < maxRight,但是以 j 为中心的回文串长度超过了 left,还是根据对称,我起码可以肯定我的回文串半径最小也等于 j - left ,也就是 maxRight - i,我们以此为基础用中心扩散法继续扩散即可
      请添加图片描述

    3. i > maxRight,那没办法了,老老实实从头开始中心扩散法吧请添加图片描述

  • i 为什么没有小于 maxCenter 的情况,因为 maxCenter 就是我们之前不断遍历得到的某个 i,新的 i 当然大于之前的 i 了
  •   int charLen = s.length();//源字符串的长度
      int length = charLen * 2 + 1;//添加特殊字符之后的长度
      char[] chars = s.toCharArray();//源字符串的字符数组
      char[] res = new char[length];//添加特殊字符的字符数组
      int index = 0;
      //添加特殊字符
      for (int i = 0; i < res.length; i++) {
          res[i] = (i % 2) == 0 ? '#' : chars[index++];
      }
    
      //新建p数组 ,p[i]表示以res[i]为中心的回文串半径
      int[] p = new int[length];
      //maxRight(某个回文串延伸到的最右边下标)
      //maxCenter(maxRight所属回文串中心下标),
      //resCenter(记录遍历过的最大回文串中心下标)
      //resLen(记录遍历过的最大回文半径)
      int maxRight = 0, maxCenter = 0, resCenter = 0, resLen = 0;
      //遍历字符数组res
      for (int i = 0; i < length; i++) {
          if (i < maxRight) {
              //情况一,i没有超出范围[left,maxRight]
              //2 * maxCenter - i其实就是j的位置,实际上是判断p[j]<maxRight - i
              // maxRight - i 其实就是 j-left,也就是说 j 的回文半径在 left ~ j
              if (p[2 * maxCenter - i] < maxRight - i) {
                  //j的回文半径没有超出范围[left,maxRight],直接让p[i]=p[j]即可
                  p[i] = p[2 * maxCenter - i];
              } else {
                  //情况二,j的回文半径已经超出了范围[left,maxRight],我们可以确定p[i]的最小值
                  //是maxRight - i,至于到底有多大,后面还需要在计算
                  // i - p[i] 表示以 i 为中心, p[i] 为半径的回文串的左端点,同理 i + p[i] 为右端点
                  // 半径不断增加就等于中心点不断向外扩散
                  p[i] = maxRight - i;
                  while (i - p[i] >= 0 && i + p[i] < length && res[i - p[i]] == res[i + p[i]])
                      p[i]++;
              }
          } else {
              //情况三,i超出了范围[left,maxRight],就没法利用之前的已知数据,而是要一个个判断了
              p[i] = 1;
              while (i - p[i] >= 0 && i + p[i] < length && res[i - p[i]] == res[i + p[i]])
                  p[i]++;
          }
          // 匹配完之后,如果右边界i + p[i]超过maxRight,那么就更新maxRight和maxCenter
          // 因为主要看 i 相对右边界来推导结果,所以能更新右边界就更新
          if (i + p[i] > maxRight) {
              maxRight = i + p[i];
              maxCenter = i;
          }
          //记录最长回文串的半径和中心位置
          if (p[i] > resLen) {
              resLen = p[i];
              resCenter = i;
          }
      }
      //计算最长回文串的长度和开始的位置
      resLen = resLen - 1;
      int start = (resCenter - resLen) >> 1;
      //截取最长回文子串
      return s.substring(start, start + resLen);
    
  • 如下图所示,有特殊字符的回文半径 - 1 其实就是原始回文串的长度,这也就是 resLen = resLen - 1; 的由来
    请添加图片描述
  • 上面三种情况还能合并,把他们都看成确定半径以及扩散这两步即可,情况 1 确定完半径以后不满足扩散条件所以不会扩散,情况 2 和 3 也就是初始半径不同,都会扩散
  •  int charLen = s.length();//源字符串的长度
     int length = charLen * 2 + 1;//添加特殊字符之后的长度
     char[] chars = s.toCharArray();//源字符串的字符数组
     char[] res = new char[length];//添加特殊字符的字符数组
     int index = 0;
     //添加特殊字符
     for (int i = 0; i < res.length; i++) {
         res[i] = (i % 2) == 0 ? '#' : chars[index++];
     }
    
     //新建p数组 ,p[i]表示以res[i]为中心的回文串半径
     int[] p = new int[length];
     //maxRight(某个回文串延伸到的最右边下标)
     //maxCenter(maxRight所属回文串中心下标),
     //resCenter(记录遍历过的最大回文串中心下标)
     //resLen(记录遍历过的最大回文半径)
     int maxRight = 0, maxCenter = 0, resCenter = 0, resLen = 0;
     //遍历字符数组res
     for (int i = 0; i < length; i++) {
         //合并后的代码
         p[i] = maxRight > i ? Math.min(maxRight - i, p[2 * maxCenter - i]) : 1;
         //上面的语句只能确定i~maxRight的回文情况,至于maxRight之后的部分是否对称,
         //就看是否需要一个个去匹配了,匹配的时候首先数组不能越界
         while (i - p[i] >= 0 && i + p[i] < length && res[i - p[i]] == res[i + p[i]])
             p[i]++;
         //匹配完之后,如果右边界i + p[i]超过maxRight,那么就更新maxRight和maxCenter
         if (i + p[i] > maxRight) {
             maxRight = i + p[i];
             maxCenter = i;
         }
         //记录最长回文串的半径和中心位置
         if (p[i] > resLen) {
             resLen = p[i];
             resCenter = i;
         }
     }
     //计算最长回文串的长度和开始的位置
     resLen = resLen - 1;
     int start = (resCenter - resLen) >> 1;
     //截取最长回文子串
     return s.substring(start, start + resLen);
    

文章来源:https://blog.csdn.net/m0_53256503/article/details/134943827
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