sklearn 逻辑回归Demo

2023-12-25 05:55:26

逻辑回归案例

假设表示

基于上述情况,要使分类器的输出在[0,1]之间,可以采用假设表示的方法。
h θ ( x ) = g ( θ T x ) h_θ (x)=g(θ^T x) hθ?(x)=g(θTx)
其中 g ( z ) = 1 ( 1 + e ? z ) g(z)=\frac{1}{(1+e^{?z} )} g(z)=(1+e?z)1?, 称为逻辑函数(Sigmoid function,又称为激活函数,生物学上的S型曲线)
h θ ( x ) = 1 ( 1 + e ? θ T X ) h_θ (x)=\frac{1}{(1+e^{?θ^T X} )} hθ?(x)=(1+e?θTX)1?

其两条渐近线分别为h(x)=0和h(x)=1

在分类条件下,最终的输出结果是:
h θ ( x ) = P ( y = 1 │ x , θ ) h_θ (x)=P(y=1│x,θ) hθ?(x)=P(y=1│x,θ)

其代表在给定x的条件下 其y=1的概率

P ( y = 1 │ x , θ ) + P ( y = 0 │ x , θ ) = 1 P(y=1│x,θ)+P(y=0│x,θ)=1 P(y=1│x,θ)+P(y=0│x,θ)=1

决策边界( Decision boundary)

对假设函数设定阈值 h ( x ) = 0.5 h(x)=0.5 h(x)=0.5
h ( x ) ≥ 0.5 h(x)≥0.5 h(x)0.5 时,输出结果y=1.

根据假设函数的性质,当 x ≥ 0 时, x≥0时, x0时,h(x)≥0.5
θ T x θ^T x θTx替换x,则当 θ T x ≥ 0 θ^T x≥0 θTx0时, h ( x ) ≥ 0.5 , y = 1 h(x)≥0.5,y=1 h(x)0.5y=1

解出 θ T x ≥ 0 θ^T x≥0 θTx0,其答案将会是一个在每一个 x i x_i xi?轴上都有的不等式函数。

这个不等式函数将整个空间分成了y=1 和 y=0的两个部分,称之为决策边界

激活函数的代价函数

在线性回归中的代价函数:
J ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m 1 2 ( h θ ( x ( i ) ) ? y ( i ) ) 2 J(θ)=\frac{1}{m}∑_{i=1}^m \frac{1}{2} (h_θ (x^{(i)} )?y^{(i)} )^2 J(θ)=m1?i=1m?21?(hθ?(x(i))?y(i))2

C o s t ( h θ ( x ) , y ) = 1 2 ( h θ ( x ( i ) ) ? y ( i ) ) 2 Cost(hθ (x),y)=\frac{1}{2}(h_θ (x^{(i)} )?y^{(i)} )^2 Costhθ(x)y=21?(hθ?(x(i))?y(i))2
Cost是一个非凹函数,有许多的局部最小值,不利于使用梯度下降法。对于分类算法,设置其代价函数为:
J ( θ ) = ? 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) l o g ( h θ ( x ( i ) ) ) ? ( 1 ? y ( i ) ) ? l o g ( 1 ? h θ ( x ( i ) ) ) ] J(θ)=-\frac{1}{m}∑_{i=1}^m [y^{(i)}log(h_θ (x^{(i)}) )?(1-y^{(i)})*log(1-h_θ (x^{(i)}))] J(θ)=?m1?i=1m?[y(i)log(hθ?(x(i)))?(1?y(i))?log(1?hθ?(x(i)))]

对其化简:
C o s t ( h θ ( x ) , y ) = ? y l o g ( h θ ( x ) ) ? ( ( 1 ? y ) l o g ? ( 1 ? h θ ( x ) ) ) Cost(h_θ (x),y)=?ylog(h_θ (x))?((1?y)log?(1?h_θ (x))) Costhθ?(x),y=?ylog(hθ?(x))?((1?y)log?(1?hθ?(x)))
检验:
y = 1 y=1 y=1时, ? l o g ? ( h θ ( x ) ) ?log?(h_θ (x)) ?log?(hθ?(x))
y = 0 y=0 y=0时, ? l o g ? ( 1 ? h θ ( x ) ) ?log?(1?h_θ (x)) ?log?(1?hθ?(x))

那么代价函数可以写成:
J ( θ ) = ? 1 m [ ∑ i = 1 m y ( i ) l o g ? ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 ? y ( i ) ) l o g ( 1 ? h θ ( x ( i ) ) ) ] J(θ)=-\frac{1}{m}[∑_{i=1}^m y^{(i)} log?(h_θ(x^{(i)} ))+(1?y^{(i)}) log(1?h_θ (x^{(i)}))] J(θ)=?m1?[i=1m?y(i)log?(hθ?(x(i)))+(1?y(i))log(1?hθ?(x(i)))]

对于代价函数,采用梯度下降算法求θ的最小值:
θ j ? θ j ? α ? J ( θ ) ? θ j θ_j?θ_j?α\frac{?J(θ)}{?θ_j} θj?:=θj??α?θj??J(θ)?
代入梯度:
θ j ? θ j ? α ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) ? y ( i ) ) x j i θ_j?θ_j?α∑_{i=1}^m(h_θ (x^{(i)} )?y^{(i)} ) x_j^i θj?:=θj??αi=1m?(hθ?(x(i))?y(i))xji?

sklearn 代码

导入库

##  基础函数库
import numpy as np 

## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt

## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

模型训练

## 构造数据集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

## 调用逻辑回归模型
lr_clf = LogisticRegression()

## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2

模型参数查看

## 查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:',lr_clf.coef_)

## 查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',lr_clf.intercept_)

在这里插入图片描述

可视化构造的数据样本点

plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
plt.show()

在这里插入图片描述

模型预测

## 在训练集和测试集上分别利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)

## 由于逻辑回归模型是概率预测模型(前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)),所以我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)

print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)

在这里插入图片描述

文章来源:https://blog.csdn.net/2201_75381449/article/details/135188642
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