正交投影矩阵与透视投影矩阵的推导

2024-01-09 20:27:13

正交投影矩阵

正交投影矩阵的视锥体是一个长方体 [ l , r ] [ b , t ] [ f , n ] [l,r][b,t][f,n] [l,r][b,t][f,n],我们要把这个长方体转换到一个正方体 [ ? 1 , 1 ] [ ? 1 , 1 ] [ ? 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][-1,1] [?1,1][?1,1][?1,1]中,如下图所示

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第一步为平移,计算出长方体的中心点为 [ ( l + r ) / 2 , ( b + t ) / 2 , ( f + n ) / 2 ] [(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2] [(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2],然后将中心点移动到原点,矩阵为
M t r a n s l a t e = [ 1 0 0 ? ( l + r ) / 2 0 1 0 ? ( b + t ) / 2 0 0 1 ? ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] \mathbf M_{translate} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mtranslate?= ?1000?0100?0010??(l+r)/2?(b+t)/2?(f+n)/21? ?
第二步为缩放,例如从 [ l , r ] [l,r] [l,r]缩放到 [ ? 1 , 1 ] [-1,1] [?1,1],缩放系数为 2 / ( r ? l ) 2/(r-l) 2/(r?l),所以矩阵为
M s c a l e = [ 2 / ( r ? l ) 0 0 0 0 2 / ( t ? b ) 0 0 0 0 2 / ( n ? f ) 0 0 0 0 0 ] \mathbf M_{scale} = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Mscale?= ?2/(r?l)000?02/(t?b)00?002/(n?f)0?0000? ?
综上,正交投影矩阵为 M o r t h o = M s c a l e ? M t r a n s l a t e \mathbf M_{ortho} = \mathbf M_{scale} * \mathbf M_{translate} Mortho?=Mscale??Mtranslate?

透视投影矩阵

透视投影矩阵的视锥体是一个四棱锥的一部分,其中近平面为 z = n z=n z=n,远平面为 z = f z=f z=f,我们要把这个视锥体转换到一个正方体 [ ? 1 , 1 ] [ ? 1 , 1 ] [ ? 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][-1,1] [?1,1][?1,1][?1,1]中,可以先把远平面压缩,把视锥体压缩成一个长方体,然后再通过正交投影矩阵就可以变换到正方体中,如图。
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视锥体压缩矩阵的求解

我们定义视锥体压缩的矩阵为 M p e r s p ? > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp?>ortho?,在把视锥体压缩成长方体的过程中,我们规定三个原则

  1. 近平面的所有点坐标不变
  2. 远平面的所有点坐标 z z z值不变,都是 f f f
  3. 远平面的中心点坐标值不变,为 ( 0 , 0 , f ) (0,0,f) (0,0,f)

首先,设 M p e r s p ? > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp?>ortho?为如下式子,先将所有元素设为未知数:
M p e r s p ? > o r t h o = [ A B C D E F G H I J K L M N O P ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} A & B & C & D \\ E & F & G & H \\ I & J & K & L \\ M & N & O & P \\ \end{bmatrix} Mpersp?>ortho?= ?AEIM?BFJN?CGKO?DHLP? ?
对于视锥体内的任意一点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z),压缩以后的 x , y x,y x,y坐标应该与近平面上对应的点相同,如下图所示,根据三角形的相似关系,我们可以得到 x , = n x / z , y , = n y / z x^, = nx/z, y^, = ny/z x,=nx/z,y,=ny/z
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因此对于齐次坐标表示的 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1)一点,它在视锥体压缩后的坐标为 ( n x / z , n y / z , u n k n o w , 1 ) (nx/z,ny/z,unknow,1) (nx/z,ny/z,unknow,1),这里我们新的 z , z^, z,值还不知道,暂不讨论。为了便于后续的计算,压缩后的坐标为 ( n x , n y , u n k n o w , z ) (nx,ny,unknow,z) (nx,ny,unknow,z)。我们有下面的式子:
M p e r s p ? > o r t h o ? [ x y z 1 ] = [ n x n y u n k n o w n z ] \mathbf M_{persp->ortho} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ unknown\\ z \end{bmatrix} Mpersp?>ortho?? ?xyz1? ?= ?nxnyunknownz? ?
将式子展开,我们有:
A x + B y + C z + D = n x E x + F y + G z + H = n y M x + N y + O z + P = z Ax + By + Cz + D = nx\\ Ex + Fy + Gz + H = ny\\ Mx + Ny + Oz + P = z Ax+By+Cz+D=nxEx+Fy+Gz+H=nyMx+Ny+Oz+P=z
可知:
A = n , B = 0 , C = 0 , D = 0 E = 0 , F = n , G = 0 , H = 0 M = 0 , N = 0 , O = 1 , P = 0 A = n,B = 0,C = 0,D = 0\\ E = 0,F = n,G = 0,H = 0\\ M = 0,N = 0, O = 1, P = 0 A=n,B=0,C=0,D=0E=0,F=n,G=0,H=0M=0,N=0,O=1,P=0
这时,我们知晓了矩阵中12个位置数的值,此时的矩阵如下,还剩 I , J , K , L I,J,K,L I,J,K,L四个未知数。
M p e r s p ? > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp?>ortho?= ?n0I0?0nJ0?00K1?00L0? ?

接下来考虑三原则中第一个原则,近平面的所有点坐标不变。对于近平面上的一点 ( x , y , n , 1 ) (x,y,n,1) (x,y,n,1),有下式:
[ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] ? [ x y n 1 ] = [ n x n y n ? n n ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n*n\\ n \end{bmatrix} ?n0I0?0nJ0?00K1?00L0? ?? ?xyn1? ?= ?nxnyn?nn? ?
其中后式是为了配平方程,我们将齐次坐标 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1)等价变为 ( n x , n y , n ? n , n ) (nx,ny,n*n,n) (nx,ny,n?n,n)

根据矩阵的第三行展开计算,可以得到
I x + J y + K n + L = n ? n Ix + Jy + Kn+L = n*n\\ Ix+Jy+Kn+L=n?n
于是有

I = 0 , J = 0 K n + L = n ? n \begin{align} I = 0,J = 0 \nonumber \\ Kn + L = n * n \\ \end{align} I=0,J=0Kn+L=n?n??

此时矩阵如下,还剩 K , L K,L K,L两个未知数。
M p e r s p ? > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp?>ortho?= ?n000?0n00?00K1?00L0? ?

最后考虑三原则中第三个原则,远平面的中心点坐标值不变,为 ( 0 , 0 , f , 1 ) (0,0,f,1) (0,0,f,1)。我们有下式:
[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] ? [ 0 0 f 1 ] = [ 0 0 f ? f f ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f*f\\ f \end{bmatrix} ?n000?0n00?00K1?00L0? ?? ?00f1? ?= ?00f?ff? ?
后式同样是为了配平方程,我们将齐次坐标 ( 0 , 0 , f , 1 ) (0,0,f,1) (0,0,f,1)等价变为 ( 0 , 0 , f ? f , f ) (0,0,f*f,f) (0,0,f?f,f)

根据矩阵的第三行展开计算,可以得到
K f + L = f ? f \begin{align} Kf + L = f*f \end{align} Kf+L=f?f??
联立 ( 1 ) ( 2 ) (1)(2) (1)(2)两式,我们最终能够解得
K = n + f L = ? n f K = n + f\\ L = -nf K=n+fL=?nf
此时,我们终于求得了 M p e r s p ? > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp?>ortho?矩阵
M p e r s p ? > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f ? n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp?>ortho?= ?n000?0n00?00n+f1?00?nf0? ?

透视投影矩阵的求解

乘上正交投影矩阵 M o r t h o \mathbf M_{ortho} Mortho?,我们便可以得到透视投影矩阵 M p e r s p \mathbf M_{persp} Mpersp?
M p e r s p = M o r t h o ? M p e r s p ? > o r t h o = [ 2 / ( r ? l ) 0 0 0 0 2 / ( t ? b ) 0 0 0 0 2 / ( n ? f ) 0 0 0 0 0 ] ? [ 1 0 0 ? ( l + r ) / 2 0 1 0 ? ( b + t ) / 2 0 0 1 ? ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] ? [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f ? n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \mathbf M_{ortho} \cdot \mathbf M_{persp->ortho} =\\ \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp?=Mortho??Mpersp?>ortho?= ?2/(r?l)000?02/(t?b)00?002/(n?f)0?0000? ?? ?1000?0100?0010??(l+r)/2?(b+t)/2?(f+n)/21? ?? ?n000?0n00?00n+f1?00?nf0? ?

透视矩阵一般是由 f o v , a s p e c t , f a r , n e a r fov,aspect,far,near fov,aspect,far,near四个参数定义的,我们尝试用这四个参数来表示上式中的 n , f , t , b , r , l n,f,t,b,r,l n,f,t,b,r,l六个参数。其中 f o v fov fov表示视场角, a s p e c t aspect aspect表示宽高比, f a r , n e a r far,near far,near分别表示远平面和近平面。

易知, n = n e a r , f = f a r n = near,f = far n=near,f=far
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根据上图的三角关系,我们有
t = n e a r ? t a n ( f o v 2 ) , b = ? n e a r ? t a n ( f o v 2 ) r = a s p e c t ? n e a r ? t a n ( f o v 2 ) , l = ? a s p e c t ? n e a r ? t a n ( f o v 2 ) t = near * tan(\frac{fov}{2}),b = -near * tan(\frac{fov}{2})\\ r = aspect * near * tan(\frac{fov}{2}), l = -aspect * near * tan(\frac{fov}{2}) t=near?tan(2fov?),b=?near?tan(2fov?)r=aspect?near?tan(2fov?),l=?aspect?near?tan(2fov?)
最终,我们得到的透视投影矩阵为
M p e r s p = [ c o t ( f o v ) 2 ? a s p e c t ? n e a r 0 0 0 0 c o t ( f o v ) 2 0 0 0 0 n e a r + f a r n e a r ? f a r ? 2 ? n e a r ? f a r n e a r ? f a r 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{cot(fov)}{2*aspect*near} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{cot(fov)}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{near+far}{near-far} & -\frac{2*near*far}{near-far}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp?= ?2?aspect?nearcot(fov)?000?02cot(fov)?00?00near?farnear+far?1?00?near?far2?near?far?0? ?

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/122411512

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_43347688/article/details/135427687
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