算法学习:动态规划之爬楼梯问题

2024-01-09 23:39:00
一、爬楼梯

问题:一个楼梯共有?n 级台阶,每次可以走一级或者两级,问从第?0 级台阶走到第?n 级台阶一共有多少种方案。

分析:

爬到1阶? 1种方法? (1)

爬到2阶? 2种方法(1+1? ?2)

爬到3阶? 3种方法(只能从2阶或者1阶迈上来,因此到达3阶的方法为到达1阶+2阶的方法之和 1+1+1? ?1+2? ? 2+1)

同理 爬4阶 5种方法(只能由2阶或3阶迈上来? 1+1+1+1? ?1+1+2? ?1+2+1? ?2+1+1? ?2+2)

分析可知该问题就是斐波那契数列问题

  • dp[i]的定义:爬到第 i 阶楼梯有 dp[i] 种方法
  • 第 i 阶可以由 i-1 阶和 i-2 阶迈上来
  • 递推式为:dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
  • dp[1]=1,dp[2]=2;
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<=1) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};
二、使用最小花费爬楼梯

问题:给你一个整数数组?cost?,其中?cost[i]?是从楼梯第?i?个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为?0?或下标为?1?的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1:

输入:cost = [10,15,20]
输出:15
解释:你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2:

输入:cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出:6
解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 6 。
  • 使用dp数组记录到达第 i 阶所需的最小花费dp[i]
  • 第 i 阶可以由第 i-1 阶或者 i-2 阶到达,取小者
  • dp[i] = min( dp[i-1] + cost[i-1] , dp[i-2] + cost[i-2] )
  • dp[0]=dp[1]=0? //你可以选择从下标为?0?或下标为?1?的台阶开始爬楼梯。
    class Solution {
    public:
        int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
            int n=cost.size();
            vector<int> dp(n+1);
            dp[0]=dp[1]=0;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
            }
            return dp[n];
        }
    };

文章来源:https://blog.csdn.net/m0_64953392/article/details/135409126
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