Math-Ug-1a-Pasw-001-实数,幂,不等式

2024-01-02 14:22:11

实数

实数:用于算术和测量的普通的数。
实 = real,existing in fact and not imaginary,实际存在的。
arithmetic,calculations involving adding and multiplying, etc. numbers,数加数,数乘数。
measure,to discover the exact size or amount of something,量尺寸或长度。

与复数相对(原书是这么说的,但我觉得确切来说,是和复数中的虚数单元相对)。
复 = complex,involving a lot of different but related parts,复数由实数和虚数单位构成,符合字面意义——不同的部分,但互相关联。
虚 = imaginary,不用解释了,和上面real词义中的not imaginary相对。

根据不同的特征,实数又分几种:

  • 整数:一整个的数
    integer = whole number
    whole,complete or not divided
    又分为正数,负数和0
  • 有理数:可以表示成 p q \frac{p}{q} qp? 这种分数形式的数,其中 p , q p,q p,q 都是整数。
    rational:based on reason
    有理数包含所有有限小数或无限循环小数。
    recurring:repeating itself for ever
    注意整数是有理数的一种。
  • 剩下的就是无理数。不能像有理数那样表示成分数形式;它们表示成无限不循环小数。
    represent:to show or describe something or someone
    尽管有无数个有理数,但有比这个无数还更无数的无理数,所以无理数到处存在。
    比如边长是单位长度的正方形对角线长 2 \sqrt{2} 2 ? 是无理数。 π , e \pi, e π,e 也都是无理数。
    从无理数的无限不循环小数中留下一定位数,剩下的舍去,得到一个有限小数,这就是无理数的近似。
  • 符号 ∞ \infin ,表示无限,会频繁出现和用到,但不能在代数中作为一个普通数使用。诸如
    ∞ / ∞ = 1 ∞ ? ∞ = 0 \infin/\infin=1 \\ \infin-\infin=0 ∞/∞=1?=0
    这样的式子都是不对的。
    举个例子,我们从无限个整数中,取走无限个奇数,那剩下无限个偶数,无限减无限还是无限,不是0。

注:有限小数和无限小数中,有限无限是形容词,finite和infinite,指小数点后位数多少;
符号无限,是名词,infinity,larger than any other number and can never be given an exact value.

数的幂具有 a x a^x ax 的形式。幂 x x x 叫做指数或者指数。
这两个指数分别是exponent和index。
这里假定你知道当x是正数或负数时,分别使用什么规则。并且知道x是分数时,如何与平方根,立方根互相转换。

指数法则
已知 a , b a, b a,b是任意正实数; x , y x, y x,y是任意实数,有

  1. a x a y = a x + y a^xa^y = a^{x+y} axay=ax+y
  2. a 0 = 1 a^0=1 a0=1
  3. a ? x = 1 a x a^{-x}=\frac{1}{a^x} a?x=ax1?
  4. ( a x ) y = a x y (a^x)^y=a^{xy} (ax)y=axy
  5. a x b x = ( a b ) x ( 1.1 ) a^xb^x=(ab)^x\quad(1.1) axbx=(ab)x(1.1)

根式默认都是正根,若是负根,要加负号。
对于所有指数, a > 0 a>0 a>0是必要条件,因为负数没有实数平方根。
如果 a a a是负数,那么 a x a^x ax有时是实数,仅当 x = p / q x=p/q x=p/q是最简形式,且 q q q是奇数。比如 ( ? 8 ) 1 3 = ? 2 (-8)^{\frac{1}{3}}=-2 (?8)31?=?2 因为 ( ? 2 ) 3 = ? 8 (-2)^3=-8 (?2)3=?8
最简形式 = lowest terms

不等式

说不等之前,先来说什么是相等。
首先相等要和方程区分开来。
语句 x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2+2x+1=0 x2+2x+1=0方程:只有在特定条件下为真;换句话说, x x x取特定的值,等号两边才相等。
方程 = equations

x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 s i n 2 A + c o s 2 A = 1 x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\\sin^2A+cos^2A=1 x2+2xy+y2=(x+y)2sin2A+cos2A=1
这些叫做等式,因为对于所有 x , y , A x,y,A x,y,A值,等号两边都相等。
所以有时为了区分,我们用 ≡ \equiv 表示等式。

任何包含 ? , > \leqslant, > ?,>的式子叫不等式
代数类比语言,也拥有自己的‘短语’,就像上面列出的等式,叫做表达式
通常情况,我们把带等号和不等号的式子都统称为方程。

画一条直线,在线上标一个点O——叫做原点,然后从O开始标定一个刻度。O点右侧正刻度,左侧负刻度。想象这个直线向两侧无限延伸。这叫做数轴
indicate:to show,point
scale:a set of numbers, amounts, etc., used to measure or compare the level of something
每个实数都能在数轴上标出。我们用x表示一个普通的数。

不等式符号有各自的意义:
在这里插入图片描述
如果我们给两个数,那么在数轴上更靠右的数更大
注意: 2 ? 3 2\leqslant3 2?3也是成立的,因为只需要满足‘或’两种情况的其中一种即可。

数轴上的一小片,或一小段,叫做区间
segment:one of the smaller groups or amounts that a larger group or amount can be divided into
interval:the space between two points,除此之外,a period between two events or times
区间两端叫做端点
区间 2 ? x ? 3 2\leqslant x\leqslant3 2?x?3表示‘2和3之间,包括2和3的所有值x’。
区间 2 < x < 3 2<x<3 2<x<3表示‘2和3之间的所有值x,但不包括2和3’。
还有无限区间,有两种表示:
x ? 2 2 ? x < ∞ x\geqslant 2\\ 2\leqslant x<\infin x?22?x<

数的大小(尺寸)用
∣ x ∣ = { x if? x ? 0 ? x if? x < 0 |x| = \begin{cases} x &\text{if } x\geqslant0 \\ -x &\text{if } x<0 \end{cases} x={x?x?if?x?0if?x<0?
表示,叫做x的模数绝对值
modulus:the distance from zero of a number on a number line
我们可以用模数表示区间,比如, ∣ x ∣ < 2 |x|<2 x<2定义相同区间 ? 2 < x < 2 -2<x<2 ?2<x<2

自测题

在这里插入图片描述

# 在数轴上画出区间
NumberLinePlot[2<x<=4 &&Abs[x]<=3,x]
# 直接得出区间的重叠部分
Reduce[2<x<=4 &&Abs[x]<=3]

在这里插入图片描述
x可以取2,3之间的所有数,包括3不包括2。

后篇:平面坐标系

文章来源:https://blog.csdn.net/twoDayLeft/article/details/135298031
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