代码随想录刷题题Day26

刷题的第二十六天，希望自己能够不断坚持下去，迎来蜕变。😀😀😀
刷题语言：C++
Day26 任务
● 动态规划理论基础
● 斐波那契数
● 爬楼梯
● 使用最小花费爬楼梯

1 动态规划理论基础

对于动态规划问题，拆解为五个步骤：
（1）确定dp数组以及下标的含义
（2）确定递推公式
（3）dp数组如何初始化
（4）遍历顺序
（5）举例推导dp数组

2 斐波那契数

斐波那契数

思路：
递归法
C++：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2); 
    }
};

时间复杂度：$O(2^n)$
空间复杂度：$O(n)$
动态规划

用一个一维的dp数组保存递归的结果

（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
（2）确定递推公式
状态转移方程：$dp[i]=dp[i?1]+dp[i?2]$
（3）dp数组如何初始化

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

（4）遍历顺序

dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

（5）举例推导dp数组
把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的
C++：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$
本题只需要维护两个数值
C++：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(1)$

3 爬楼梯

爬楼梯

思路：
动态规划
（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
（2）确定递推公式

dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶就是dp[i]
dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶就是dp[i]
$dp[i]=dp[i?1]+dp[i?2]$

（3）dp数组如何初始化

dp[0] = 1;
dp[1] = 1;

（4）遍历顺序：从前往后
（5）举例推导dp数组

C++:

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$
优化代码：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(1)$

4 使用最小花费爬楼梯

使用最小花费爬楼梯

思路：
动态规划

可以选择从下标为0或下标为1的台阶开始爬楼梯就是相当于跳到下标 0或者下标1是不花费体力的， 从 下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了

（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
（2）确定递推公式

有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]

dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

（3）dp数组如何初始化

dp[0] = 0;
dp[1] = 0;

（4）遍历顺序：从前到后遍历cost数组
（5）举例推导dp数组

C++：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0;// 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$
优化：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
            dp0 = dp1; // 记录一下前两位
            dp1 = dpi;
        }
        return dp1;
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(1)$

---

鼓励坚持二十七天的自己😀😀😀