无条件极值

2023-12-28 13:24:16

（1）二元及以上函数取极值必要条件：

设 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0?,y0?) 一阶偏导数存在，且取极值，则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f^{'}_{x}(x_0,y_0) = 0, f^{'}_{y}(x_0,y_0) = 0, fx′?(x0?,y0?)=0,fy′?(x0?,y0?)=0,

（2）二元函数取极值充分条件：

记 { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C \begin{cases} f^{''}_{xx}(x_0,y_0) =A \\ f^{''}_{xy}(x_0,y_0) =B \\ f^{''}_{yy}(x_0,y_0) =C \\ \end{cases} ? ? ??fxx′′?(x0?,y0?)=Afxy′′?(x0?,y0?)=Bfyy′′?(x0?,y0?)=C? 则 Δ = B 2 ? A C { B 2 ? A C < 0 ?? ? ?? 极值 { A < 0 , 极大值 A > 0 , 极小值 B 2 ? A C > 0 ?? ? ?? 非极值 B 2 ? A C = 0 ?? ? ?? 不确定 \Delta = B^2 -AC \begin{cases} B^2 -AC < 0 \implies 极值 \begin{cases} A<0,极大值 \\ A>0, 极小值\end{cases} \\ B^2 -AC > 0 \implies 非极值\\ B^2 -AC = 0 \implies 不确定 \\ \end{cases} Δ=B2?AC? ? ??B2?AC<0?极值{A<0,极大值A>0,极小值?B2?AC>0?非极值B2?AC=0?不确定?

注意到无条件极值是 Δ < 0 \Delta <0 Δ<0 取极值，和一元二次方程的 Δ > 0 \Delta >0 Δ>0 有解是相反的，这方面可以联想记忆

24考研数学二考试的时候，公式又记不清了，想着赌一把吧，和一元二次方程一样 Δ > 0 \Delta >0 Δ>0是极值 ，结果赌错了…在这里插入图片描述该死的运气！！！
数学真是一生之敌，这次彻底记住了，明年见！

下面是那道例题：

在这里插入图片描述

文章来源:https://blog.csdn.net/qq_33745102/article/details/135260915
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