雨课堂作业整理
第一次作业
1.下列序列是图序列的是（ ）
A.1，2，2，3，4，4，5
B.1，1，2，2，4，6，6
C.0，0，2，3，4，4，5
D.2，2，2，2，2，2，2
2.具有3个顶点互不同构的图有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
3.设图
G
=
(
V
,
E
)
G=(V,E)
G=(V,E)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
}
V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}
V={v1?,v2?,v3?,v4?}，
E
=
{
v
1
v
2
,
v
1
v
3
,
v
1
v
1
,
v
2
v
4
,
v
3
v
4
}
E=\{v_1v_2,v_1v_3,v_1v_1,v_2v_4,v_3v_4\}
E={v1?v2?,v1?v3?,v1?v1?,v2?v4?,v3?v4?}，则
d
(
v
1
)
=
（）
d(v_1)=（ ）
d(v1?)=（）
A.4 B.3 C.2 D.1
4.设图
G
=
(
V
,
E
)
G=(V,E)
G=(V,E)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
}
V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}
V={v1?,v2?,v3?,v4?}，
E
=
{
v
1
v
2
,
v
1
v
3
,
v
1
v
1
,
v
2
v
4
,
v
3
v
4
}
E=\{v_1v_2,v_1v_3,v_1v_1,v_2v_4,v_3v_4\}
E={v1?v2?,v1?v3?,v1?v1?,v2?v4?,v3?v4?}，则顶点导出子图
G
[
{
v
1
,
v
2
,
v
3
}
]
G[\{v_1,v_2,v_3\}]
G[{v1?,v2?,v3?}] 中有（ ）条边
A.5 B.4 C.3 D.2
5.设图
G
=
(
V
,
E
)
G=(V,E)
G=(V,E)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
}
V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}
V={v1?,v2?,v3?,v4?}，
E
=
{
v
1
v
2
,
v
1
v
3
,
v
1
v
1
,
v
2
v
4
,
v
3
v
4
}
E=\{v_1v_2,v_1v_3,v_1v_1,v_2v_4,v_3v_4\}
E={v1?v2?,v1?v3?,v1?v1?,v2?v4?,v3?v4?}，则边导出子图
G
[
{
v
1
v
1
,
v
2
v
4
}
]
G[\{v_1v_1,v_2v_4\}]
G[{v1?v1?,v2?v4?}] 是图
G
G
G 的支撑子图。该说法（ ）。
A.正确 B.错误
6.若图
G
G
G 存在
(
u
,
v
)
(u,v)
(u,v) 闭途径，则图
G
G
G 中也一定存在
(
u
,
v
)
(u,v)
(u,v) 闭迹。该说法（ ）。
A.正确 B.错误
7.互不同构的
4
4
4 阶连通图有（ ）个。
A.6 B.5 C.4 D.3
8.在一个化学实验室里，有 n n n 个药箱，其中每两个不同的药箱恰有一种相同的化学品，而且每种化学品恰好在两个药箱中出现，则每个药箱有（ ）种化学品；这 n n n 个药箱种共有（ ）种不同的化学品。
9.平面上有
n
n
n 个点
S
=
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
}
S=\{p_1,p_2,...,p_n\}
S={p1?,p2?,...,pn?}，其中任何两个点之间的距离至少是
1
1
1，证明这
n
n
n 个点中距离为
1
1
1 的点对数不超过
3
n
3n
3n。
证明：
第二次作业
1.每对顶点都相邻的图是完全图。该说法（ ）。
A.正确 B.错误
2.(多选)设聚会有
n
n
n 人参加，已知聚会中要么有
3
3
3 个人互相都认识，要么有
3
3
3 个人相互都不认识，则参与这次聚会的人数
n
n
n 可能是（ ）。
A.7 B.6 C.5 D.4
3.如下图
G
G
G 是著名的
P
e
t
e
r
s
e
n
Petersen
Petersen 图，关于此图说法正确的是（ ）。
A.它是二部图 B.它不是二部图
4.设有向图
D
=
(
V
,
A
)
D=(V,A)
D=(V,A)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
}
，
A
=
{
(
v
1
,
v
2
)
,
(
v
3
,
v
4
)
,
(
v
1
,
v
1
)
,
(
v
2
,
v
4
)
,
(
v
3
,
v
4
)
}
V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}，A=\{(v_1,v_2),(v_3,v_4),(v_1,v_1),(v_2,v_4),(v_3,v_4)\}
V={v1?,v2?,v3?,v4?}，A={(v1?,v2?),(v3?,v4?),(v1?,v1?),(v2?,v4?),(v3?,v4?)}，则
d
+
(
v
1
)
=
d^+(v_1)=
d+(v1?)=（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
5.设有向图
D
=
(
V
,
A
)
D=(V,A)
D=(V,A)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
}
，
A
=
{
(
v
1
,
v
2
)
,
(
v
3
,
v
4
)
,
(
v
1
,
v
1
)
,
(
v
2
,
v
4
)
,
(
v
3
,
v
4
)
}
V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}，A=\{(v_1,v_2),(v_3,v_4),(v_1,v_1),(v_2,v_4),(v_3,v_4)\}
V={v1?,v2?,v3?,v4?}，A={(v1?,v2?),(v3?,v4?),(v1?,v1?),(v2?,v4?),(v3?,v4?)}，则它有（ ）个强连通分支。
A.4 B.3 C.2 D.1
6.任何长为奇数的闭途径中一定包含长为奇数的圈。该说法（ ）。
A.正确 B.错误
7.某次聚会很特别，在这次聚会中，每两个互相认识的人，都没有共同的熟人，但，每两个互不认识的人都恰有两个共同的熟人。有人宣称这次聚会的参加者一定有同样数目的熟人他的说法（ ）
A.正确 B.错误
8.完全二部图 K m , n K_{m,n} Km,n?中有（ ）条边。
9.构造一个 7 7 7 阶 4 4 4 正则简单图。
第三次作业
1.设
A
(
G
)
=
A(G)=
A(G)=
(
1
2
0
2
2
1
0
1
3
)
(3)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \tag{3}
?120?221?013?
?(3)，则顶点
v
1
v_1
v1? 的度
d
(
v
1
)
=
d(v_1)=
d(v1?)=
A.5 B.4 C.3
2.设
A
(
G
)
=
A(G)=
A(G)=
(
1
2
0
2
2
1
0
1
3
)
(3)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \tag{3}
?120?221?013?
?(3)，则顶点
v
2
v_2
v2? 到
v
2
v_2
v2? 且长为
2
2
2 的不同路径有（ ）条。
A.9 B.8 C.7 D.6
3.设
A
(
G
)
=
A(G)=
A(G)=
(
0
0
1
2
1
1
1
3
0
)
(3)
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \tag{3}
?021?013?110?
?(3)，则有向图
D
D
D 中的有向边
(
v
2
,
v
3
)
(v_2,v_3)
(v2?,v3?) 有（ ）条。
A.3 B.2 C.1 D.0
4.设有向图
D
=
(
V
,
A
)
D=(V,A)
D=(V,A)，其中
V
=
{
v
1
,
v
2
,
v
3
}
，
A
=
{
(
v
1
,
v
2
)
,
(
v
1
,
v
3
)
,
(
v
2
,
v
3
)
,
(
v
3
,
v
2
)
}
V=\{v_1,v_2,v_3\}，A=\{(v_1,v_2),(v_1,v_3),(v_2,v_3),(v_3,v_2)\}
V={v1?,v2?,v3?}，A={(v1?,v2?),(v1?,v3?),(v2?,v3?),(v3?,v2?)}，则关联矩阵
M
(
D
)
=
M(D)=
M(D)=（ ）
A.
[
1
1
0
0
?
1
0
1
?
1
0
?
1
?
1
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
?1?10?10?1?01?1?0?11?
?
B.
[
?
1
?
1
0
0
1
0
?
1
1
0
1
1
?
1
]
\begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}
??110??101?0?11?01?1?
?
C.
[
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
]
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
?110?101?011?011?
?
5.设
G
G
G 如下图所示，则
ε
(
G
?
v
)
=
\varepsilon(G-v)=
ε(G?v)= （ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
6.设
G
1
,
G
2
G_1,G_2
G1?,G2? 分别如下图所示，则
v
(
G
1
∪
G
2
)
=
v(G_1 \cup G_2)=
v(G1?∪G2?)=（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
7.设
G
G
G 如下图所示，则
G
?
e
G·e
G?e 的基础简单图有（ ）条边。
A.11 B.10 C.9 D.8
8.求下图
v
1
v_1
v1? 到
v
2
v_2
v2? 的最短路（ ）。
9.判断下图能否转化为笛卡尔积的形式，简述理由。
第四次作业
1.互不同构的六阶树有（ ）个。
A.10 B.8 C.6 D.4
2.已知
G
G
G 为简单图，且
v
(
G
)
=
ε
(
G
)
=
2023
v(G)=\varepsilon(G)=2023
v(G)=ε(G)=2023，下列说法正确的是（ ）。
A.
G
G
G 中一定有圈
B.
G
G
G 一定连通
C.
G
G
G 中不一定有圈
D.
G
G
G 不一定联通
3.(多选)下列选项中有可能是树图的度序列的有 ()
A.(1,2,2,2,2,3)
B.(0,1,1,2,3,3)
C.(1,1,1,2,2,3)
D.(1,1,1,1,2,4)
4.(多选)设
G
G
G 是连通图，
e
∈
E
(
G
)
e \in E(G)
e∈E(G)，则
w
(
G
?
e
)
w(G -e)
w(G?e) 可能是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设图
G
G
G 有
v
v
v 个顶点、
ε
\varepsilon
ε 条边和
ω
\omega
ω 个连通分支，
G
G
G 中不同圈的个数为
n
n
n，则下列关于
n
n
n 的说法最恰当的是（ ）。
A.
n
≥
ε
?
v
n \geq \varepsilon-v
n≥ε?v
B.
n
≥
ε
?
v
+
ω
n \geq \varepsilon-v+\omega
n≥ε?v+ω
C.
n
≤
ε
?
v
?
ω
n \leq \varepsilon-v-\omega
n≤ε?v?ω
D.
n
≤
v
?
ω
n \leq v-\omega
n≤v?ω
6.设
G
G
G 如下图所示，则
τ
(
G
)
=
\tau(G)=
τ(G)=（ ）。
A.8 B.6 C.5 D.4
7.
τ
(
K
5
)
=
\tau(K_5)=
τ(K5?)=（ ）。
A.
5
10
5^{10}
510 B.
5
8
5^8
58 C.
5
5
5^5
55 D.
5
3
5^3
53
8.设
G
G
G 如下图所示，则
G
G
G 中含有边
e
e
e 的支撑树有（ ）。
9.设
T
T
T 是一棵树，其平均度为
α
\alpha
α，求
v
(
T
)
v(T)
v(T)。
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