50 个具有挑战性的概率问题 [第 5 部分]：方形硬币

????????你好，我最近对与概率相关的问题产生了兴趣。我偶然发现了 Frederick Mosteller 所著的《五十个具有挑战性的概率问题及其解决方案》这本书。我认为创建一个系列来讨论这些可能作为面试问题出现的迷人问题会很有趣。每篇文章仅包含 1 个问题，使其成为一个总共 50 个部分的系列。让我们潜入并激活我们的脑细胞！

图片由作者使用 DALL-E 3 提供。

在一种常见的嘉年华游戏中，玩家从大约 5 英尺的距离将一枚硬币扔到 1 英寸见方的桌子表面上。如果便士（直径 3/4 英寸）完全落入正方形内，则玩家将获得 5 美分，但无法取回自己的便士；否则他就会失去一分钱。

问：如果硬币落在桌子上，他获胜的机会有多大？

解决方案：

为了获胜，硬币必须完全落在一个正方形内。这意味着硬币的中心不得位于正方形任何边的 3/8 英寸（硬币的半径）内，如下所示：

硬币中心距正方形任何一边的距离不得在 3/8 英寸以内。

此约束导致硬币中心必须落入一个区域（由黄色方块表示），如下所示。正方形的边长可以很容易地计算为 1/4 英寸。

硬币的中心必须落在边长为 1/4 英寸的黄色正方形内。

获胜概率等于硬币中心位于黄色方块上的概率与硬币中心位于蓝色方块中任意区域的概率之比。下面，我们可以计算这个比率并得出获胜的概率是 1/16。

获胜的概率。

总之，如果硬币落在桌子上，他获胜的机会是 1/16。

Python代码：

import numpy as np

n_simulations = 1000000
total_win = 0

for _ in range(n_simulations):
    # Let the lower left corner of the square be the coordinate (0,0)
    # Let the coordinate of the center of the coin be (x,y)
    x, y = np.random.random(size=2)
    # Center of the coin must NOT be within 3/8 inch of any side of the square.
    if (x > 3/8) and (y > 3/8) and (1-x > 3/8) and (1-y > 3/8):
        total_win += 1

prob_win = total_win/n_simulations
 
print(f"Probability of winning = {prob_win:.4f}")

# Output:
# Probability of winning = 0.0625 (=1/16)

这就是这个硬币📀问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题！