[足式机器人]Part2 Dr. CAN学习笔记-Ch01自动控制原理

2024-01-03 12:39:25

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本文参考:
B站:DR_CAN


1. 开环系统与闭环系统Open/Closed Loop System

1.1 EG1: 烧水与控温水壶

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1.2 EG2: 蓄水与最终水位

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h ˙ = q i n A ? g h A R \dot{h}=\frac{q_{in}}{A}-\frac{gh}{AR} h˙=Aqin???ARgh?
A = 1 A=1 A=1. 目标: h = x → x d h=x\rightarrow x_d h=xxd? —— 保持液面高度
x d = C R g , C = x d g R = u , G ( s ) = 1 S + g R x_d=\frac{CR}{g},C=\frac{x_dg}{R}=u,G\left( s \right) =\frac{1}{S+\frac{g}{R}} xd?=gCR?,C=Rxd?g?=u,G(s)=S+Rg?1?

1.3 闭环控制系统

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X = D G 1 + H D G V X=\frac{DG}{1+HDG}V X=1+HDGDG?V

2. 稳定性分析Stability

2.1 序言

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2.2 稳定的分类

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2.3 稳定的对象

明确分析对象
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e = T a r g e t ?? ? ?? θ e=Target\,\,-\,\,\theta e=Target?θ
Does the error converge to zero or not —— error dynamics stable or not

2.4 稳定的系统

Open loop 开环
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Closed loop 闭环
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EG1:
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EG2:
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2.5 系统稳定性的讨论

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2.6 补充内容——Transfer Function(传递函数) - nonzero Initial Condition(非零初始条件)

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3. 燃烧卡路里-系统分析实例

3.1 数学模型

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3.2 比例控制 Proprotional Control

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4 终值定理和稳态误差Final Value Theorem & Steady State Error

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5 比例积分控制器Proportional-Intefral Controller

消除稳态误差——设计新的控制器
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6 根轨迹Root locus

6.1 根的作用

G ( s ) = s + 3 s 2 + 2 s + 4 G\left( s \right) =\frac{s+3}{s^2+2s+4} G(s)=s2+2s+4s+3?
Matlab可绘制 riocus(g)
掌握根的变化规律 , 设计控制器,补偿器 : Compentator Lead Lag…

根 —— 极点

  1. 一阶系统
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  2. 二阶系统
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  3. 三阶系统
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6.2 手绘技巧

Matlab可以精确绘制——手绘——掌握根的变化规律——设计控制器

根轨迹的基本形式

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根轨迹研究的是: 当 K K K从0到 + ∞ +\infty +时,闭环系统根(极点)位置的变化规律

1 + K G ( s ) = 0 , G ( s ) = N ( s ) D ( s ) = ( s ? z 1 ) ( s ? z 2 ) ? ( s ? z m ) ( s ? p 1 ) ( s ? p 2 ) ? ( s ? p n ) 1+KG\left( s \right) =0,G\left( s \right) =\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}=\frac{\left( s-z_1 \right) \left( s-z_2 \right) \cdots \left( s-z_{\mathrm{m}} \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right) \cdots \left( s-p_{\mathrm{n}} \right)} 1+KG(s)=0,G(s)=D(s)N(s)?=(s?p1?)(s?p2?)?(s?pn?)(s?z1?)(s?z2?)?(s?zm?)?

其中, z 1 ? z m z_1\cdots z_{\mathrm{m}} z1??zm?零点 Zeros ⊙ \odot p 1 ? p n p_1\cdots p_{\mathrm{n}} p1??pn?极点 Poles × \times ×

规则1 :共有 n n n条根轨迹, 若 n > m n>m n>m;共有 m m m条根轨迹,若 m > n m>n m>n ? max ? { m , n } \Leftarrow \max \left\{ m,n \right\} ?max{m,n}
规则2 :若 m = n m=n m=n,随着 K K K 0 → ∞ 0\rightarrow \infty 0 , 根轨迹从 G ( s ) G\left( s \right) G(s)的极点向零点移动: 1 + K G ( s ) = 0 ? D ( s ) + K N ( s ) = 0 1+KG\left( s \right) =0\Rightarrow D\left( s \right) +KN\left( s \right) =0 1+KG(s)=0?D(s)+KN(s)=0 K → 0 K\rightarrow 0 K0 D ( s ) = 0 D\left( s \right) =0 D(s)=0(极点); K → ∞ K\rightarrow \infty K N ( s ) = 0 N\left( s \right) =0 N(s)=0 (零点)
规则3:实轴上的根轨迹存在于从右向左第奇数个极点/零点的左边
规则4:若附属跟存在,则一定是共轭的,所以根轨迹通过实轴对称
规则5:若 n > m n>m n>m , 则有 n ? m n-m n?m个极点指向无穷;若 m > n m>n m>n , 则有 m ? n m-n m?n条根轨迹从无穷指向零点
规则6:根轨迹延渐近线移动,渐近线与实轴的交点 σ = ∑ p ? ∑ z n ? m \sigma =\frac{\sum{p}-\sum{z}}{n-m} σ=n?mp?z?渐近线与实轴的夹角 θ = 2 q + 1 n ? m π , q = 0 , 1 , . . . , n ? m ? 1 / m ? n ? 1 \theta =\frac{2q+1}{n-m}\pi ,q=0,1,...,n-m-1/m-n-1 θ=n?m2q+1?π,q=0,1,...,n?m?1/m?n?1
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6.3 分离点/汇合点&根轨迹的几何性质

以 2nd-order system 为例:
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Properties of Root locus
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7 Lead Compensator超前补偿器(调节根轨迹)

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7.1 Plot Rootlocus 绘制根轨迹

G ( s ) = 1 s ( s + 2 ) G\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+2 \right)} G(s)=s(s+2)1?
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7.2 System Performance 系统表现

输入Input —— δ ( t ) \delta \left( t \right) δ(t) 单位冲激

  • K K K 较小时, p 1 , p 2 p_1,p_2 p1?,p2? x ( t ) = c 1 e p 1 t + c 2 e p 2 t , p 1 < 0 , p 2 < 0 x\left( t \right) =c_1e^{p_1t}+c_2e^{p_2t},p_1<0,p_2<0 x(t)=c1?ep1?t+c2?ep2?t,p1?<0,p2?<0
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  • K K K 较大时,根在复平面: p 1 , p 2 p_1,p_2 p1?,p2? x ( t ) = c e ? t sin ? ω n t x\left( t \right) =ce^{-t}\sin \omega _{\mathrm{n}}t x(t)=ce?tsinωn?t - 无论如何改变 K K K值,都无法改变收敛速度
    -在这里插入图片描述

7.3 改善/加快收敛速度

——改变根轨迹,希望根在 ? 2 + 2 3 -2+2\sqrt{3} ?2+23 ?
G ( s ) = 1 s ( s + 2 ) G\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+2 \right)} G(s)=s(s+2)1?
在根轨迹上的点满足: ∠ K G ( s ) = ? π \angle KG\left( s \right) =-\pi KG(s)=?π (零点到根的夹角和 - 极点到根的夹角和)
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7.4 超前补偿器 Lead Comperastor

H ( s ) = s ? z s ? p , ∥ z ∥ < ∥ p ∥ H\left( s \right) =\frac{s-z}{s-p},\left\| z \right\| <\left\| p \right\| H(s)=s?ps?z?,z<p
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8 Lag Compensator滞后补偿器

稳态误差入手(steady state Error)
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误差 Error E ( s ) = R ( s ) ? X ( s ) = R ( s ) ? E ( s ) ? K G ( s ) ? E ( s ) ( 1 + K G ( s ) ) = R ( s ) ? E ( s ) = 1 1 + K G ( s ) R ( s ) = R ( s ) 1 1 + K N ( s ) D ( s ) = 1 s 1 1 + K N ( s ) D ( s ) E\left( s \right) =R\left( s \right) -X\left( s \right) =R\left( s \right) -E\left( s \right) \cdot KG\left( s \right) \Rightarrow E\left( s \right) \left( 1+KG\left( s \right) \right) =R\left( s \right) \Rightarrow E\left( s \right) =\frac{1}{1+KG\left( s \right)}R\left( s \right) =R\left( s \right) \frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}}=\frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}} E(s)=R(s)?X(s)=R(s)?E(s)?KG(s)?E(s)(1+KG(s))=R(s)?E(s)=1+KG(s)1?R(s)=R(s)1+KD(s)N(s)?1?=s1?1+KD(s)N(s)?1?

单位阶跃unit step R ( s ) = 1 s R\left( s \right) =\frac{1}{s} R(s)=s1?
稳态误差Steady State Error——FVT终值定理
e s s = lim ? t → ∞ e ( t ) = lim ? s → o s E ( s ) = lim ? s → o s ? 1 s 1 1 + K N ( s ) D ( s ) = 1 1 + K N ( 0 ) D ( 0 ) = D ( 0 ) D ( 0 ) + K N ( 0 ) ess=\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow o}{\lim}sE\left( s \right) =\underset{s\rightarrow o}{\lim}s\cdot \frac{1}{s}\frac{1}{1+K\frac{N\left( s \right)}{D\left( s \right)}}=\frac{1}{1+K\frac{N\left( 0 \right)}{D\left( 0 \right)}}=\frac{D\left( 0 \right)}{D\left( 0 \right) +KN\left( 0 \right)} ess=tlim?e(t)=solim?sE(s)=solim?s?s1?1+KD(s)N(s)?1?=1+KD(0)N(0)?1?=D(0)+KN(0)D(0)?

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9 PID控制器

P —— Proportional
I —— Integral
D —— Derivative

  • 当前误差/过去误差/误差的变化趋势
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  1. K p ? e K_{\mathrm{p}}\cdot e Kp??e:比例增益——当前误差
  2. K I ? ∫ e d t K_{\mathrm{I}}\cdot \int{e}dt KI??edt:积分增益——过去误差-积累
  3. K D ? d e d t K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} KD??dtde? :微分增益——变化趋势 (对噪音敏感)
    L [ u ] = L [ K P ? e + K I ? ∫ e d t + K D ? d e d t ] ? U ( s ) = ( K P + K I 1 s + K D s ) ? E ( s ) \mathcal{L} \left[ u \right] =\mathcal{L} \left[ K_{\mathrm{P}}\cdot e+K_{\mathrm{I}}\cdot \int{e}\mathrm{d}t+K_{\mathrm{D}}\cdot \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t} \right] \Rightarrow U\left( s \right) =\left( K_{\mathrm{P}}+K_{\mathrm{I}}\frac{1}{s}+K_{\mathrm{D}}s \right) \cdot E\left( s \right) L[u]=L[KP??e+KI??edt+KD??dtde?]?U(s)=(KP?+KI?s1?+KD?s)?E(s)

PID
PD控制:提高稳定性,改善瞬态
PI控制:改善稳态误差

10 奈奎斯特稳定性判据-Nyquist Stability Criterion

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Cauchy’s Argument Priciple 柯西幅角原理
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结论: s s s平面内顺时针画一条闭合曲线 A A A B B B曲线是 A A A通过 F ( s ) F(s) F(s)后在 F ( s ) F(s) F(s)平面上的映射, A A A曲线每包含一个 F ( s ) F(s) F(s)的零点(极点), B B B曲线就绕 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点顺时针(逆时针)一圈

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文章来源:https://blog.csdn.net/LiongLoure/article/details/135359737
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