溢出以及判断溢出的两种方法（单符号位和双符号位）

先让我们看一道题目

设X=-110011,Y=+100011,用补码求Z=X-Y。

解： [X]补=1 001101

????????[Y]补=0 100011

????????[-Y]补=1 011101

????????[X-Y]补= [X]补+[-Y]补 =1 001101+1 011101=0 101010

? ? ? ? 那这时候Z=X+Y=+101010

? ? ? ? 结果居然是正值，这很明显就是错误的（负数减正数结果应该还是负数）

出错的原因：

• 两个正数太大：产生进位而改变了符号位。
• 两个负数绝对值太大：对应的补码太小，不能向符号位产生进位，使符号位相加后，向前产生进位。

那什么是溢出呢？

溢出：指运算结果超过了机器数能表示的范围。

• 两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。
• 两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。

到这时候其实我们就可以引出一些思考

两异号数相加或两同号数相减是否会产生溢出？

仅当两同号数相加或两异号数相减时才有可能产生溢出？

很显然两异号数相加或两同号数相减决不会产生溢出。

也确实只有两同号数相加或两异号数相减时才有可能产生溢出。

证明就不多赘述了。

那怎么判断是否溢出呢？

就轮到今天的主角了——单符号法和双符号法

单符号位法

• 最高有效位无进位且符号位有进位时产生下溢
• 最高有效位有进位且符号位无进位时产生上溢

我个人总结就是最高位和次高位异或结果为1的话就证明产生了溢出。

双符号位法

不管是否发生溢出，高位符号位代表了数真正 的符号

Test

1、设X=+10101，Y=-01010，用补码求Z=X-Y。

解：[X]补= 00 10101，[Y]补=11 10110

?????????????????????????????????????[-Y]补=00 01010

???????[X-Y]补=[X]补+[-Y]补 =00 10101+00 01010=00 11111（无溢出）

???????所以X+Y=+11111。

2、两个定点小数X=+0.10111,Y=+0.10001,用 补码求Z=X+Y。

解：[X]补= 00.10111

???????[Y]补=00.10001

???????[X+Y]补= [X]补+[Y]补 =00.10111+00.10001=01.01000

? ? ? ?（这时候我们就可以根据双符号位的规则看出发生了正溢）

3、设X=-110011,Y=+100011，用补码求Z=X-Y。

解:[X]补=11 001101 [Y]补=00 100011

????????????????????????????????[-Y]补=11 011101

?????[X-Y]补= [X]补+[-Y]补 =11 001101+11 011101 =10 101010

? ?（这时候我们就可以根据双符号位的规则看出发生了负溢）

总结以上，得出补码相加的规则：

1. 两数符号不同，相加的结果即为和的补码。
2. 两数符号相同，相加后若其和的符号不变， 则结果是和的补码。
3. 两数符号相同，相加后若其和的符号改变， 则表示发生了溢出。
4. 两个正数相加，结果的符号为“01”，表示发生正溢出。
5. 两个负数相加，结果的符号为“10”，表示发生负溢出。