有趣的数学 用示例来阐述什么是初值问题三

一、简述

????????在物理和工程应用中，我们经常考虑作用在物体上的力，并使用此信息来理解可能发生的最终运动。例如，如果我们从地球表面的一个物体开始，作用在该物体上的主要力是重力。物理学家和工程师可以使用这些信息以及牛顿第二运动定律（以方程形式， 其中代表力，代表质量，并且代表加速度），推导出可解的方程。

????????在上图中，我们假设作用在棒球上的唯一力是重力。这个假设忽略了空气阻力。地球表面重力产生的加速度，G，大约是。我们引入一个参考系，其中地球表面的高度为 0 米。让表示物体的速度，以米每秒为单位。如果，球正在上升，如果，球正在下落（下图）。

????????我们的目标是求解任何时间的速度。为此，我们设置了一个初始值问题。假设球的质量是， 以公斤为单位。

????????我们使用牛顿第二定律，该定律指出作用在物体上的力等于其质量乘以加速度（）。加速度是速度的导数，所以。因此作用在棒球上的力由下式给出。然而，这个力必须等于作用在物体上的重力，它（再次使用牛顿第二定律）由下式给出，因为该力作用于向下的方向。因此我们得到方程，这变成。将方程两边同时除以给出方程：

????????请注意，无论物体的质量如何，该微分方程都保持不变。

????????我们现在需要一个初始值。因为我们正在求解速度，所以在问题的背景下假设我们知道初始速度或此时的速度是有意义的。这表示为。

二、示例1

????????棒球以10m/s的初始速度从地球表面以上3米的高度向上投掷，唯一作用在它身上的力是重力。这个球在地球表面的质量为0.15公斤。

? ? ? ? 1、求出棒球在时间的速度

? ? ? ? 2、2秒后的速度是多少？

? ? ? ? 解答1：

? ? ? ? 根据前面的简述，我们知道适用这种情况的微分方程是，其中，初始条件是，并且。

????????因此初值问题为

????????解决这个初值问题的第一步是求微分方程两边的反导数。

????????下一步是求解C。为此，替换和：

? ? ? ? 所以，于是速度函数如下式。

? ? ? ? 解答2：

????????求2秒之后的速度，将代入方程。

????????速度的单位是米每秒。由于答案是负的，物体下落的速度为。

????????解决此问题后，一个自然要问的问题是，在给定时间点，该物体距离地球表面有多高。让表示物体距地球表面的高度，以米为单位。因为速度是位置（在本例中为高度）的导数，所以该假设给出了方程。需要一个初始值；在这种情况下，物体的初始高度效果很好。让初始高度由方程给出。这些假设共同给出了初始值问题。如果速度函数已知，则也可以求解位置函数。

三、示例2

? ? ? ? 棒球以10m/s的初始速度从地球表面以上3米的高度向上投掷，唯一作用在它身上的力是重力。这个球在地球表面的质量为0.15公斤。

? ? ? ? 1、求出找出棒球在时间的位置

? ? ? ? 2、2秒后它的高度是多少？

? ? ? ? 解答1：

????????我们已经知道这个问题的速度函数是。棒球的初始高度为3米，所以。因此，这个例子的初值问题是为了解决初值问题，我们首先找到反导数：

????????接下来我们替换并求解：

????????因此位置函数为

????????解答2：

? ? ? ? ?之后2秒的棒球的高度。将t=2代入方程。

????????因此，2秒后，棒球距离地球表面3.4米。值得注意的是，在解决问题的过程中，球的质量完全不需要。