整数规划-割平面法
整数规划-割平面法
谨以此博客作为学习期间的记录。
割平面法思想
在之前，梳理了分支定界法的流程:分支定界法
除了分支定界法，割平面法也是求解整数规划的另一个利器。
我们已经知道，线性规划的可行域是一个凸集，而最优点将会在凸集的某个顶点处取到。而如果凸集的顶点都是整数点，那这样的话只要使用单纯形法即可求得整数最优解。
就像下图的凸包所示，在实际情况中，线性规划的可行域往往交点都不在整数点处，如果能找到整数点的一个凸包，那整数规划问题即可转化为普通的线性规划问题。但是想找到这样的一个凸包是非常困难的，只能使用某种方法去不断的逼近这个凸包。
这就是割平面法的思想：不断地向原问题中添加约束去逼近这个整数凸包，从而使得解出来的解为整数解。
Gomory’s割平面法原理
在上面提到了，通过不断添加约束去逼近一个整数凸包，那么该如何去添加约束呢？也就是如何确定割平面这是本部分的重点。
确定割平面的算法有很多，暂时先以较为基础的Gomory’s 分数割平面算法介绍，后续如果用到更多其他割平面再进行补充。
先看一个标准整数规划问题
m
i
n
c
T
x
s
.
t
.
{
A
x
=
b
x
≥
0
x
∈
Z
n
\begin{align*} min \quad & \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ s.t. \quad & \begin{cases} \mathbf{Ax} =\mathbf{b} \\ \mathbf{x} \geq \mathbf{0}\\ \mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n \end{cases} \\ \end{align*}
mins.t.?cTx?
?
??Ax=bx≥0x∈Zn??
当使用单纯形法求解整数规划问题时，可以将问题划分为基变量（Basic Variables）和非基变量（Non-Basic Variables）。在标准形式的整数规划问题中，可以进行如下的续写：
令基变量为
x
B
\mathbf{x}_B
xB?，非基变量为
x
N
\mathbf{x}_N
xN?。整数规划问题可以表示为：
min
?
c
T
x
=
c
B
T
x
B
+
c
N
T
x
N
\min \mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{c}_B^T \mathbf{x}_B + \mathbf{c}_N^T \mathbf{x}_N
mincTx=cBT?xB?+cNT?xN?
约束条件：
B
x
B
+
N
x
N
=
b
x
B
,
x
N
≥
0
x
∈
Z
n
\begin{align*} \mathbf{B} \mathbf{x}_B + \mathbf{N} \mathbf{x}_N &= \mathbf{b} \\ \mathbf{x}_B, \mathbf{x}_N &\geq \mathbf{0} \\ \mathbf{x} &\in \mathbb{Z}^n \end{align*}
BxB?+NxN?xB?,xN?x?=b≥0∈Zn?
其中：
- c T = [ c B T , c N T ] \mathbf{c}^T = [\mathbf{c}_B^T, \mathbf{c}_N^T] cT=[cBT?,cNT?] 是目标函数的系数向量， c B \mathbf{c}_B cB? 对应基变量的系数， c N \mathbf{c}_N cN? 对应非基变量的系数。
- B \mathbf{B} B 和 N \mathbf{N} N 分别是基变量和非基变量对应的约束矩阵的子矩阵。
- x B \mathbf{x}_B xB? 和 x N \mathbf{x}_N xN? 分别是基变量和非基变量向量。
现在将整数约束松弛掉，使用单纯形法进行求解，多次迭代后模型收敛。收敛后的问题可以表述如下:
min
?
f
0
+
c
N
T
x
N
\min \quad f_0 + \mathbf{c}_N^T \mathbf{x}_N
minf0?+cNT?xN?
约束条件：
x
B
+
B
?
1
N
x
N
=
B
?
1
b
x
B
,
x
N
≥
0
\begin{align*} \mathbf{x}_B + \mathbf{B}^{-1}\mathbf{N} \mathbf{x}_N &= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} \\ \mathbf{x}_B, \mathbf{x}_N &\geq \mathbf{0} \\ \end{align*}
xB?+B?1NxN?xB?,xN??=B?1b≥0?
其中
f
0
=
c
B
T
x
B
f_0 = \mathbf{c}_B^T \mathbf{x}_B
f0?=cBT?xB?在求解之后为一个常数。
那么将上述约束变形即可得到
x
B
+
?
B
?
1
N
?
x
N
≤
?
B
?
1
b
?
\mathbf{x}_B + \lfloor\mathbf{B}^{-1}\mathbf{N} \rfloor \mathbf{x}_N \leq \lfloor \mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} \rfloor
xB?+?B?1N?xN?≤?B?1b?将其与原约束相减可以得到
(
B
?
1
N
?
?
B
?
1
N
?
)
x
N
≥
B
?
1
b
?
?
B
?
1
b
?
(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{N} - \lfloor\mathbf{B}^{-1}\mathbf{N} \rfloor )\mathbf{x}_N \geq \mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} - \lfloor \mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} \rfloor
(B?1N??B?1N?)xN?≥B?1b??B?1b?
这个约束可以割掉小数解得部分，原因如下。
如果最终解出来的仍为小数解，表示为[
x
B
,
x
N
x_B,x_N
xB?,xN?],其中
x
B
x_B
xB?为小数解，
x
N
=
0
x_N = 0
xN?=0,那么就有
B
?
1
b
\mathbf{B}^{-1}\mathbf{b}
B?1b也为小数，那么就有
B
?
1
b
?
?
B
?
1
b
?
>
0
\mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} - \lfloor \mathbf{B}^{-1}\mathbf{b} \rfloor > 0
B?1b??B?1b?>0,而
x
N
=
0
x_N = 0
xN?=0就导致不等式右边大于0，不等式左边等于0.不等式不成立。因此为了使不等式成立，就需要满足最终的解为不能有小数解。
实例
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
7
x
1
?
2
x
2
≤
14
x
2
≤
3
2
x
1
?
2
x
2
≤
3
x
1
,
x
2
≥
0
x
∈
Z
n
(整数限制)
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 7x_1-2x_2 \leq 14 \\ x_2 \leq 3\\ 2x_1-2x_2 \leq 3\\ x_1,x_2 \geq 0\\ \mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n \quad \text{(整数限制)} \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??7x1??2x2?≤14x2?≤32x1??2x2?≤3x1?,x2?≥0x∈Zn(整数限制)??
可行域如下
求解松弛子问题1
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
7
x
1
?
2
x
2
+
x
3
=
14
x
2
+
x
4
=
3
2
x
1
?
2
x
2
+
x
5
=
3
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 7x_1-2x_2+x_3 = 14 \\ x_2 + x_4 = 3\\ 2x_1-2x_2 +x_5 = 3\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??7x1??2x2?+x3?=14x2?+x4?=32x1??2x2?+x5?=3x1?,x2?,x3?,x4?,x5?≥0??
求解得到
Optimal objective value: 8.428571428571429
x1: 2.857142857142857
x2: 3.0
x3: 0.0
x4: 0.0
x5: 3.2857142857142865
以x1,x2,x5作为基变量，对约束进行等价变换(把约束中基变量的系数矩阵变为单位阵)，变换之后的问题如下
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
1
x
1
+
0
x
2
+
1
7
x
3
+
2
7
x
4
+
0
x
5
=
20
7
0
x
1
+
1
x
2
+
0
x
3
+
1
x
4
+
0
x
5
=
3
0
x
1
+
0
x
2
?
2
7
x
3
+
10
7
x
4
+
1
x
5
=
23
7
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 1x_1+0x_2+\frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4+0x_5 = \frac{20}{7} \\ 0x_1+1x_2 +0x_3+ 1x_4+0x_5 = 3\\ 0x_1+0x_2 -\frac{2}{7}x_3+\frac{10}{7}x_4+1x_5 = \frac{23}{7}\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??1x1?+0x2?+71?x3?+72?x4?+0x5?=720?0x1?+1x2?+0x3?+1x4?+0x5?=30x1?+0x2??72?x3?+710?x4?+1x5?=723?x1?,x2?,x3?,x4?,x5?≥0??
选择第一个约束，构造得到割平面不等式
1
7
x
3
+
2
7
x
4
≥
6
7
\frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4\geq\frac{6}{7}
71?x3?+72?x4?≥76?将这个约束化为标准形式
1
7
x
3
+
2
7
x
4
?
s
=
6
7
\frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4-s = \frac{6}{7}
71?x3?+72?x4??s=76?加入到原问题中得到子问题2。
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
1
x
1
+
0
x
2
+
1
7
x
3
+
2
7
x
4
+
0
x
5
=
20
7
0
x
1
+
1
x
2
+
0
x
3
+
1
x
4
+
0
x
5
=
3
0
x
1
+
0
x
2
?
2
7
x
3
+
10
7
x
4
+
1
x
5
=
23
7
1
7
x
3
+
2
7
x
4
?
s
=
6
7
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
s
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 1x_1+0x_2+\frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4+0x_5 = \frac{20}{7} \\ 0x_1+1x_2 +0x_3+ 1x_4+0x_5 = 3\\ 0x_1+0x_2 -\frac{2}{7}x_3+\frac{10}{7}x_4+1x_5 = \frac{23}{7}\\ \frac{1}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4-s = \frac{6}{7}\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,s \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??1x1?+0x2?+71?x3?+72?x4?+0x5?=720?0x1?+1x2?+0x3?+1x4?+0x5?=30x1?+0x2??72?x3?+710?x4?+1x5?=723?71?x3?+72?x4??s=76?x1?,x2?,x3?,x4?,x5?,s≥0??
求解得到
Optimal objective value: 7.500000000000002
x1: 2.0000000000000004
x2: 0.5000000000000004
x3: 1.0000000000000004
x4: 2.4999999999999996
x5: 0.0
s: 0.0
选择x1,x2,x3,x4作为基变量，继续对约束进行等价变换。
变换之后的问题如下：
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
1
x
1
+
0
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
+
0
x
5
+
1
s
=
2
0
x
1
+
1
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
?
1
2
x
5
+
1
s
=
1
2
0
x
1
+
0
x
2
+
1
x
3
+
0
x
4
?
1
x
5
?
5
s
=
1
0
x
1
+
0
x
2
+
0
x
3
+
1
x
4
+
1
2
x
5
?
1
s
=
5
2
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
s
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 1x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5+1s = 2 \\ 0x_1+1x_2 +0x_3+ 0x_4-\frac{1}{2}x_5+1s = \frac{1}{2}\\ 0x_1+0x_2+1x_3+0x_4-1x_5-5s = 1\\ 0x_1+0x_2+0x_3+1x_4+\frac{1}{2}x_5-1s = \frac{5}{2}\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,s \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??1x1?+0x2?+0x3?+0x4?+0x5?+1s=20x1?+1x2?+0x3?+0x4??21?x5?+1s=21?0x1?+0x2?+1x3?+0x4??1x5??5s=10x1?+0x2?+0x3?+1x4?+21?x5??1s=25?x1?,x2?,x3?,x4?,x5?,s≥0??
选择第二个继续构造不等式得到
1
2
x
5
≥
1
2
\frac{1}{2}x_5\geq\frac{1}{2}
21?x5?≥21?标准化之后为
1
2
x
5
?
s
1
=
1
2
\frac{1}{2}x_5-s_1 = \frac{1}{2}
21?x5??s1?=21?加入到原问题中得到子问题3：
m
a
x
z
=
4
x
1
?
x
2
s
.
t
.
{
1
x
1
+
0
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
+
0
x
5
+
1
s
=
2
0
x
1
+
1
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
?
1
2
x
5
+
1
s
=
1
2
0
x
1
+
0
x
2
+
1
x
3
+
0
x
4
?
1
x
5
?
5
s
=
1
0
x
1
+
0
x
2
+
0
x
3
+
1
x
4
+
1
2
x
5
?
1
s
=
5
2
1
2
x
5
?
s
1
=
1
2
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
s
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 4x_1 - x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 1x_1+0x_2+0x_3+0x_4+0x_5+1s = 2 \\ 0x_1+1x_2 +0x_3+ 0x_4-\frac{1}{2}x_5+1s = \frac{1}{2}\\ 0x_1+0x_2+1x_3+0x_4-1x_5-5s = 1\\ 0x_1+0x_2+0x_3+1x_4+\frac{1}{2}x_5-1s = \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}x_5-s_1 = \frac{1}{2}\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,s \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=4x1??x2??
?
??1x1?+0x2?+0x3?+0x4?+0x5?+1s=20x1?+1x2?+0x3?+0x4??21?x5?+1s=21?0x1?+0x2?+1x3?+0x4??1x5??5s=10x1?+0x2?+0x3?+1x4?+21?x5??1s=25?21?x5??s1?=21?x1?,x2?,x3?,x4?,x5?,s≥0??
求解得到
Optimal objective value: 7.0
x1: 2.0
x2: 1.0
x3: 2.0
x4: 2.0
x5: 1.0
s: 0.0
s1: 0.0
得到了整数解。
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