【算法与数据结构】51、LeetCode N 皇后

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一、题目

二、解法

??思路分析：N皇后问题也算是一个难题，难点在于构建棋盘，以及处理节点、递归回溯等操作的写法；再一个难点在于如何判断棋盘是否合法。笔者使用了vector构造函数，将全是.的二维矩阵代表棋盘，处理节点是将.转化为Q，最终满足条件的棋盘就是题目所需要的结果。再一个是用棋盘合法函数判断棋盘是否合法， 根据国际象棋的规则以及题目的要求，皇后不能在同一斜线、同一行、同一列上。因为在处理节点时，我们每行只放了一个皇后，不存在同一行有两个皇后的情况，因此不用检查行。当进入isValid这个函数，代表我们即将要在row行，col列放置皇后, 大于第row行的皇后都还没有放置（225度和315度的斜线不用检查），因此我们仅需检查45度和135度斜线。
??程序如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<string>> result;
    bool isValid(vector<string> &chessboard, int row, int col, int n) {   // 检查棋盘是否合法
        // 进入这个函数，代表我们即将要在row行，col列放置皇后, 大于第row行的皇后都还没有放置（225度和315度的斜线不用检查）
        // 检查行、列、斜线，因为在处理节点时，我们每行只放了一个皇后，不存在同一行有两个皇后的情况，因此不用检查行        
        for (int i = 0; i < row; i++) {    // 检查列, i代表第i行
            if (chessboard[i][col] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >=0 && j <= n ; i--, j++) {    // 检查45度斜线
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {    // 检查135度斜线
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
        if (n == row) {
            result.push_back(chessboard);
            return;
        }
        for (int col = 0; col < n; col++){
            if (isValid(chessboard, row, col, n)) {
                chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后，处理节点;
                backtracking(n, row + 1, chessboard);   // 递归
                chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销处理结果
            }
        }
        
    }
public:
	vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
	}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n!)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

三、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
using namespace std;

class Solution {
private:
    vector<vector<string>> result;
    bool isValid(vector<string> &chessboard, int row, int col, int n) {   // 检查棋盘是否合法
        // 进入这个函数，代表我们即将要在row行，col列放置皇后, 大于第row行的皇后都还没有放置（225度和315度的斜线不用检查）
        // 检查行、列、斜线，因为在处理节点时，我们每行只放了一个皇后，不存在同一行有两个皇后的情况，因此不用检查行        
        for (int i = 0; i < row; i++) {    // 检查列, i代表第i行
            if (chessboard[i][col] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >=0 && j <= n ; i--, j++) {    // 检查45度斜线
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {    // 检查135度斜线
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
        if (n == row) {
            result.push_back(chessboard);
            return;
        }
        for (int col = 0; col < n; col++){
            if (isValid(chessboard, row, col, n)) {
                chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后，处理节点;
                backtracking(n, row + 1, chessboard);   // 递归
                chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销处理结果
            }
        }
        
    }
public:
	vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
	}
};

int main() {
    int n = 4;
    Solution s1;
    vector<vector<string>> result = s1.solveNQueens(n);
    for (vector<vector<string>>::iterator it = result.begin(); it != result.end(); it++) {
        for (vector<string>::iterator jt = (*it).begin(); jt != (*it).end(); jt++) {
            cout << *jt << " ";
        }
        cout << endl;
    }
	system("pause");
	return 0;
}

end