梯度下降算法

回顾

对于一个学习系统来说，我们需要找到最适合数据的模型，模型有很多，需要不断尝试，其中最简单的一个模型就是线性模型。


我们需要去找到一个w的取值，使得 $（\hat{y}?y{）}^2$最小

$y=w?x$可以采用穷举法求最优值w

那么$y=w_1?x_1+w_2?x_2$，如果采用穷举法来求最优值w，假设w取值为[0,100],计算量就是$100^2$……
假如有多个$w_i$,那么计算量就是$100^n$.

优化问题

这种求得w的取值使得cost损失值最小的问题称为优化问题。

梯度下降算法

如何才能找到最小的参数w呢？是该往哪个方向走呢？

需要去计算每个点的梯度：即微分（导数），>0:函数上升，损失值在增大，w应该减小（梯度的反方向运动）；<0：函数在下降，损失值在减小（目标方向），w应该增大（梯度的反方向运动）。所以参数w的更新方向应该是梯度的负方向！

𝛼：学习率。决定你每一步更新走多大步。一般取值很小：0.1、0.01。

注意：梯度下降算法是一种贪心算法，得到的解不一定是全局最优。
解决：

• 运行多次，随机化初始点。（SGD：随机梯度下降）
• 梯度下降法的初始点也是一个超参数。
  

鞍点：梯度为0的点。会导致梯度无法继续更新。

梯度计算

$y_n=w?x_n$
cost(w)=：

代码

import matplotlib.pyplot as plt
#  training set
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]

# 初始化参数
w = 1.0

# 定义线性模型： y = w*x
def forward(x):
    return x * w

# 计算 MSE
def cost(xs, ys):
    cost = 0
    for x, y in zip(xs, ys):
        y_pred = forward(x)
        cost += (y_pred - y) ** 2
    return cost / len(xs)

# 计算梯度
def gradient(xs, ys):
    grad = 0
    for x, y in zip(xs, ys):
        grad += 2 * x * (x * w - y)
    return grad / len(xs)

epoch_list = []
cost_list = []
print('predict (before training)', 4, forward(4))
#epoch：训练轮次，表示重复训练的次数
for epoch in range(100):#训练100 epoch
    cost_val = cost(x_data, y_data)#计算损失值
    grad_val = gradient(x_data, y_data)#计算梯度
    w -= 0.01 * grad_val  # 更新梯度（参数）0.01 learning rate
    print('epoch:', epoch, 'w=', w, 'loss=', cost_val)
    epoch_list.append(epoch)
    cost_list.append(cost_val)

print('predict (after training)', 4, forward(4))
plt.plot(epoch_list, cost_list)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('epoch')
plt.show()

epoch: 0 w= 1.0933333333333333 loss= 4.666666666666667
epoch: 1 w= 1.1779555555555554 loss= 3.8362074074074086
epoch: 2 w= 1.2546797037037036 loss= 3.1535329869958857
epoch: 3 w= 1.3242429313580246 loss= 2.592344272332262
epoch: 4 w= 1.3873135910979424 loss= 2.1310222071581117
epoch: 5 w= 1.4444976559288012 loss= 1.7517949663820642
......

损失曲线图

一般来说，用下图这种epoch、cost（loss）的损失值变化曲线来表示训练情况。

在20 epoch以前，模型快速收敛，后面趋于稳定，损失值接近0.这是理想的训练情况。损失值随着训练越来越小，逐渐收敛，这次训练就是成功的。如果损失值随着训练还逐渐增大了，那么训练就失败了！

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）

梯度下降算法：用所有样本的平均损失值cost来更新参数；
随机梯度下降算法：随机选取N个样本中的一个样本的loss来更新参数！

随机梯度下降算法能够更好的解决鞍点问题，因为是随机选取一个样本的loss，可能会跨过鞍点继续更新。

代码

import matplotlib.pyplot as plt

x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]

w = 1.0

def forward(x):
    return x * w

# loss function
def loss(x, y):#计算一个样本x的损失值loss
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y) ** 2


# 计算梯度 SGD
def gradient(x, y):
    return 2 * x * (x * w - y)


epoch_list = []
loss_list = []
print('predict (before training)', 4, forward(4))
for epoch in range(100):
    for x, y in zip(x_data, y_data):
        grad = gradient(x, y)
        w = w - 0.01 * grad  # 更新梯度
        print("\tgrad:", x, y, grad)
        l = loss(x, y)
    print("progress:", epoch, "w=", w, "loss=", l)
    epoch_list.append(epoch)
    loss_list.append(l)

print('predict (after training)', 4, forward(4))
plt.plot(epoch_list, loss_list)
plt.ylabel('loss')
plt.xlabel('epoch')
plt.show()

比较

梯度下降	随机梯度下降
整个训练集的cost计算梯度	一个样本的loss计算梯度
性能低	性能高
时间复杂度低	时间复杂度高

有没有一种折中的方法，性能高，时间复杂度又低呢？
采用Batch（Mini-Batch）的方法进行训练。

思考：

这里的线性模型是y=wx，如果换成y=wx+b，上述计算过程会变吗？会影响参数更新吗？
请写出对应的代码。