53. 最大子数组和

53. 最大子数组和

题目：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例：

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

**进阶：**如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

解题：

方法一：动态规划

卡尔的视频讲解： 看起来复杂，其实是简单动态规划 | LeetCode：53.最大子序和

动规五部曲如下：

1.确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标 i（以 nums[i] 为结尾）的最大连续子序列和为 dp[i]。

2.确定递推公式

dp[i] 只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i] 加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以 dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.dp 数组如何初始化

从递推公式可以看出来 dp[i] 是依赖于 dp[i - 1] 的状态，dp[0] 就是递推公式的基础。

dp[0] 应该是多少呢?

根据 dp[i] 的定义，很明显 dp[0] 应为 nums[0] 即 dp[0] = nums[0]。

4.确定遍历顺序

递推公式中 dp[i] 依赖于 dp[i - 1] 的状态，需要从前向后遍历。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);	// 状态转移公式
            if(dp[i] > result) result = dp[i];			// result 保存 dp[i] 的最大值
        }
        return result;
    }
};

复杂度：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)