代码随想录算法训练营 | day56 动态规划 583.两个字符串的删除操作，72.编辑距离

刷题

583.两个字符串的删除操作

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题目：给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：

• 输入: "sea", "eat"

• 输出: 2

• 解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

思路及实现

这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] [j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。

2.确定递推公式

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1] [j] + 1

情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i] [j - 1] + 1

情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1] [j - 1] + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i] [j] = min({dp[i - 1] [j - 1] + 2, dp[i - 1] [j] + 1, dp[i] [j - 1] + 1});

因为 dp[i] [j - 1] + 1 = dp[i - 1] [j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i] [j] = min(dp[i - 1] [j] + 1, dp[i] [j - 1] + 1);

这里可能不少录友有点迷糊，从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i] [j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i] [j-1] + 1。

3.dp数组如何初始化

从递推公式中，可以看出来，dp[i] [0] 和 dp[0] [j]是一定要初始化的。

dp[i] [0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i] [0] = i。

4.确定遍历顺序

从递推公式 dp[i] [j] = min(dp[i - 1] [j - 1] + 2, min(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]) + 1); 和dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1]可以看出dp[i] [j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i] [j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5.举例推导dp数组

以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

以上分析完毕，代码如下：

// dp数组中存储word1和word2最长相同子序列的长度
class Solution {
 ? ?public int minDistance(String word1, String word2) {
 ? ? ? ?int len1 = word1.length();
 ? ? ? ?int len2 = word2.length();
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
?
 ? ? ? ?for (int i = 1; i <= len1; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j <= len2; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 ? ? ? ? ? ? ?  } else {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?return len1 + len2 - dp[len1][len2] * 2;
 ?  }
}
?
// dp数组中存储需要删除的字符个数
class Solution {
 ? ?public int minDistance(String word1, String word2) {
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
 ? ? ? ?for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;
 ? ? ? ?for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;
 ? ? ? ?
 ? ? ? ?for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
 ? ? ? ? ? ? ?  }else{
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?
 ? ? ? ?return dp[word1.length()][word2.length()];
 ?  }
}

72.编辑距离

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题目：给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符

• 删除一个字符

• 替换一个字符

• 示例 1：

• 输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

• 输出：3

• 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')

• 示例 2：

• 输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

• 输出：5

• 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')

提示：

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500

• word1 和 word2 由小写英文字母组成

思路及实现

编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。

编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [j]。

有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？

为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组中做了详细的讲解。

其实用i来表示也可以！ 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
 ?  不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
 ?  增
 ?  删
 ?  换

也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])` 那么说明不用任何编辑，`dp[i][j]` 就应该是 `dp[i - 1][j - 1]`，即`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i] [j]的定义！

if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

• 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

• 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：

 ? ? ? ? ?  a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? d
 ? +-----+-----+ ? ? ? ? ? ? +-----+-----+-----+
 ? |  0  |  1  | ? ? ? ? ? ? |  0  |  1  |  2  |
 ? +-----+-----+ ? ===> ? ?  +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  | ? ? ? ? ? a |  1  |  0  |  1  |
 ? +-----+-----+ ? ? ? ? ? ? +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
 ? +-----+-----+

操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。

可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
 ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
 ? ?dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

---

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i] [j]的定义：

dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [j]。

那么dp[i] [0] 和 dp[0] [j] 表示什么呢？

dp[i] [0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i] [0]。

那么dp[i] [0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i] [0] = i;

同理dp[0] [j] = j;

4.确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]

• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

• dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1

• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i] [j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

以上动规五部分析完毕，代码如下：

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length();
    int n = word2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    // 初始化
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][0] =  i;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 因为dp数组有效位从1开始
            // 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}