acwing算法提高之动态规划--背包模型(三)

2023-12-13 13:32:24

1 基础知识

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2 模板

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3 工程化

题目1:潜水员。

解题思路:DP。

状态定义f[i][j][k]:从前i个物品中选,氧气至少为j,氮气至少为k的最小方案数。

状态转移,以下情况的最小值,

  1. 不选择第i个物品,即f[i-1][j][k]
  2. 选择第i个物品,即f[i - 1][j - v1[i]][k - v2[i]] + w[i]。(状态从i-1层转移过来的,故从大到小循环。)

同样地,可以将状态优化到二维。

初始化,f[i][j] = 0x3f3f3f3ff[0][0] = 0

最终答案,返回f[n][m]

C++代码如下,

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 30, M = 90;
int n, m, k;
//n表示氧气需要的量
//m表示氮气需要的量
//k表示气缸的个数
int f[N][M];

int main() {
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    
    cin >> n >> m >> k;
    while (k--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        for (int i = n; i >= 0; --i) {
            for (int j = m; j >= 0; --j) {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(i - a, 0)][max(j - b, 0)] + c);
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

题目2:背包问题求解具体方案数。

解题思路:求具体方案数不难,关键是求解字典序最小的,有些困难。

C++代码如下,

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++ j) {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i]) {
            cout << i << " ";
            j -= v[i];
        }
    }
    
    return 0;
}

题目3:机器分配。

解题思路:分组背包问题求解最大价值和具体方案。

C++代码如下,

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 20;
int n, m;
int w[N][N]; //第i组第k台的价值
int f[N][N];
int s[N]; //第i组选了第多少台

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int k = 1; k <= m; ++k) {
            cin >> w[i][k];
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            for (int k = 1; k <= m; ++k) {
                if (j >= k) {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - k] + w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    int j = m;
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        for (int k = 1; k <= m; ++k) {
            if (j >= k && f[i][j] == f[i-1][j - k] + w[i][k]) {
                s[i] = k;
                j -= k;
                break;
            }
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << i << " " << s[i] << endl;
    }
    
    return 0;
}

题目4:金明的预算方案。

解题思路:分组背包问题。

C++代码如下,

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int M = 32010;
int n, m;
int f[M];

int main() {
    cin >> m >> n;
    
    //读入n个物品
    struct ITEM {
        ITEM(int a, int b) : v(a), w(b) {} //构造函数
        
        int v;//体积
        int w;//价格
    };
    
    vector<ITEM> items;
    items.emplace_back(ITEM(-1,-1));
    
    unordered_map<int, vector<int>> son; //son[i]表示物品i的附件们
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int v, p, q;
        cin >> v >> p >> q;
        ITEM item(v, p * v);
        items.emplace_back(item);
        
        if (q == 0) {
            //第i件物品是主件
            son[i].emplace_back(-1);
            son[i].pop_back();
        } else {
            //第i件物品是附件,它的主件是q
            son[q].emplace_back(i);
        }
    }
    
    //分组背包问题求解
    for (auto [i, vec] : son) {
        //遍历每一个主件i,和它的附件vec
        for (int j = m; j >= 0; --j) {
            //考虑每一个附件
            for (int k = 0; k < 1 << vec.size(); ++k) {
                int v = items[i].v, w = items[i].w;
                //遍历每个附件
                for (int ii = 0; ii < vec.size(); ++ii) {
                    if (k >> ii & 1) {
                        //选择了第ii个附件
                        v += items[vec[ii]].v;
                        w += items[vec[ii]].w;
                    }
                }
                if (j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
            }
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

题目5:开心的金明。

解题思路:01背包问题即可。

C++代码如下,

#include <iostream>

using namespace std;

const int M = 30010;
int n, m;
int f[M];

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int v, p;
        cin >> v >> p;
        int w = v * p;
        for (int j = m; j >= v; --j) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

文章来源:https://blog.csdn.net/YMWM_/article/details/134911978
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