数据结构----搜索之二分查找

2023-12-15 09:32:21

数据结构----搜索之二分查找

什么是二分查找?

二分查找是一种基于分治策略的高效搜索算法。
它利用数据的有序性,每轮减少一半搜索范围,直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

问题:
给定一个长度为 𝑛 的数组 nums ,元素按从小到大的顺序排列,数组不包含重复元素。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 ?1 。

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如上图所示,我们先初始化指针 𝑖 = 0 和 𝑗 = 𝑛 ? 1 ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间[0, 𝑛 ? 1] 。
请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。

接下来,循环执行以下两步:

  1. 计算中点索引 𝑚 = ?(𝑖 + 𝑗)/2? ,其中 ? ? 表示向下取整操作
  2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系,分为以下三种情况:
    1. 当 nums[m] < target 时,说明 target 在区间 [𝑚 + 1, 𝑗] 中,因此执行 𝑖 = 𝑚 + 1 。
    2. 当 nums[m] > target 时,说明 target 在区间 [𝑖, 𝑚 ? 1] 中,因此执行 𝑗 = 𝑚 ? 1 。
    3. 当 nums[m] = target 时,说明找到 target ,因此返回索引 𝑚 。

若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空。此时返回 ?1

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值得注意的是,由于 𝑖 和 𝑗 都是 int 类型,因此 𝑖 + 𝑗 可能会超出 int 类型的取值范围
为了避免大数越界,我们通常采用公式 𝑚 = ?𝑖 + (𝑗 ? 𝑖)/2? 来计算中点。

/* 二分查找(双闭区间) */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
	// 初始化双闭区间 [0, n-1] ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
	int i = 0, j = nums.length - 1;
	// 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i > j 时为空)
	while (i <= j) {
		int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
		if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
			i = m + 1;
		else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
			j = m - 1;
		else // 找到目标元素,返回其索引
		return m;
	}
	// 未找到目标元素,返回 -1
	return -1;
}

时间复杂度 𝑂(log 𝑛) :在二分循环中,区间每轮缩小一半,循环次数为 L o g 2 Log_2 Log2?𝑛 。

空间复杂度 𝑂(1) :指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述的双闭区间外,常见的区间表示还有 左闭右开 区间,定义为 [0, 𝑛) ,即左边界包含自身,右边界不包含自身。在该表示下,区间 [𝑖, 𝑗] 在 𝑖 = 𝑗 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。

/* 二分查找(左闭右开) */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
	// 初始化左闭右开 [0, n) ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素 +1
	int i = 0, j = nums.length;
	// 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i = j 时为空)
	while (i < j) {
		int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
		if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
			i = m + 1;
		else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
			j = m;
		else // 找到目标元素,返回其索引
		return m;
	}
	// 未找到目标元素,返回 -1
	return -1;
}

如图所示,在两种区间表示下,二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于 双闭区间 表示中的左右边界都被定义为闭区间,因此指针 𝑖 和 𝑗 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错,因此一般建议采用“双闭区间”的写法
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优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能:

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如,当数据大小 𝑛 = 220时,线性查找需要 220 = 1048576 轮循环,而二分查找仅需 L o g 2 Log_2 Log2? 220= 20 轮循环。

  • 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法(例如哈希查找),二分查找更加节省空间。

然而,二分查找并非适用于所有情况,主要有以下原因:

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛 log 𝑛) ,比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为 𝑂(𝑛) ,也是非常昂贵的。

  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构

  • 小数据量下,线性查找性能更佳。在线性查找中,每轮只需要 1 次判断操作;而在二分查找中,需要 1次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法(减法),共 4 ~ 6 个单元操作;因此,当数据量 𝑛 较小时,线性查找反而比二分查找更快

二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素,还具有许多变种问题,比如搜索目标元素的插入位置。

无重复元素的情况

问题:
给定一个长度为 𝑛 的有序数组 nums 和一个元素 target ,数组不存在重复元素。
现将 target插入到数组 nums 中,并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ,则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。
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如果想要复用上节的二分查找代码,则需要回答以下两个问题:

问题一: 当数组中包含 target 时,插入点的索引是否是该元素的索引?

题目要求将 target 插入到相等元素的左边,这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说,当数组包含 target 时,插入点的索引就是该 target 的索引

问题二: 当数组中不存在 target 时,插入点是哪个元素的索引?

进一步思考二分查找过程:当 nums[m] < target 时 𝑖 移动,这意味着指针 𝑖 在向大于等于 target 的元素靠近。同理,指针 𝑗 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有:𝑖 指向首个大于 target 的元素,𝑗 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含target 时,插入索引为 𝑖

/* 二分查找插入点(无重复元素) */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
	int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
	while (i <= j) {
		int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
		if (nums[m] < target) {
			i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
		} else if (nums[m] > target) {
			j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
		} else {
			return m; // 找到 target ,返回插入点 m
		}
	}
	// 未找到 target ,返回插入点 i
	return i;
}

存在重复元素的情况

在上一题的基础上,规定数组可能包含重复元素,其余不变。

假设数组中存在多个 target ,则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引,而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。
题目要求将目标元素插入到最左边,所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引

初步考虑通过下图所示的步骤实现:

  1. 执行二分查找,得到任意一个 target 的索引,记为 𝑘 。
  2. 从索引 𝑘 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 target 时返回。

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此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 𝑂(𝑛) 。当数组中存在很多重复的 target 时,该方法效率很低。现考虑拓展二分查找代码。

如下图所示,整体流程保持不变,每轮先计算中点索引 𝑚 ,再判断 target 和nums[m] 大小关系,分为以下几种情况:

  • 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时,说明还没有找到 target ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,从而使指针 𝑖 和 𝑗 向 target 靠近

  • 当 nums[m] == target 时,说明小于 target 的元素在区间 [𝑖, 𝑚 ? 1] 中,因此采用 𝑗 = 𝑚 ? 1 来缩小区间,从而使指针 𝑗 向小于 target 的元素靠近

循环完成后,𝑖 指向最左边的 target ,𝑗 指向首个小于 target 的元素,因此索引 𝑖 就是插入点。
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观察以下代码,判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同,因此两者可以合并。
即便如此,我们仍然可以将判断条件保持展开,因为其逻辑更加清晰、可读性更好。

/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
	int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
		while (i <= j) {
			int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
			if (nums[m] < target) {
				i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
			} else if (nums[m] > target) {
				j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
			} else {
				j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
			}
		}
	// 返回插入点 i
	return i;
}

以上代码都是“双闭区间”写法,有兴趣的同学可以自行实现“左闭右开”写法。
总的来看,二分查找无非就是给指针 𝑖 和 𝑗 分别设定搜索目标,目标可能是一个具体的元素(例如 target ),也可能是一个元素范围(例如小于 target 的元素)。

在不断的循环二分中,指针 𝑖 和 𝑗 都逐渐逼近预先设定的目标。最终,它们或是成功找到答案,或是越过边界后停止。

二分查找边界

1. 查找左边界

问题:
给定一个长度为 𝑛 的有序数组 nums ,数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素target 的索引。若数组中不包含该元素,则返回 ?1 。

回忆二分查找插入点的方法,搜索完成后 𝑖 指向最左一个 target ,因此查找插入点本质上是在查找最左一个target 的索引。
考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。
请注意,数组中可能不包含 target ,这种情况可能导致以下两种结果:

  • 插入点的索引 𝑖 越界。
  • 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时,直接返回 ?1 即可。

/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
	// 等价于查找 target 的插入点
	int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
	// 未找到 target ,返回 -1
	if (i == nums.length || nums[i] != target) {
		return -1;
	}
	// 找到 target ,返回索引 i
	return i;
}

2. 查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢?
最直接的方式是修改代码,替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。
代码在此省略,有兴趣的同学可以自行实现。

下面我们介绍两种更加取巧的方法:

1. 复用查找左边界

实际上,我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素,具体方法为:将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。

如图所示,查找完成后,指针 𝑖 指向最左一个 target + 1(如果存在),而 𝑗 指向最右一个 target ,因此返回 𝑗 即可。
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请注意,返回的插入点是 𝑖 ,因此需要将其减 1 ,从而获得 𝑗。

/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
	// 转化为查找最左一个 target + 1
	int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
	// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
	int j = i - 1;
	// 未找到 target ,返回 -1
	if (j == -1 || nums[j] != target) {
		return -1;
	}
	// 找到 target ,返回索引 j
	return j;
}
2. 转化为查找元素

我们知道,当数组不包含 target 时,最终 𝑖 和 𝑗 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。
因此,如图所示,我们可以构造一个数组中不存在的元素,用于查找左右边界。

  • 查找最左一个 target :可以转化为查找 target - 0.5 ,并返回指针 𝑖 。
  • 查找最右一个 target :可以转化为查找 target + 0.5 ,并返回指针 𝑗 。
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代码在此省略,值得注意以下两点:

  • 给定数组不包含小数,这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
  • 因为该方法引入了小数,所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型。

哈希优化策略

在算法题中,我们常通过将线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度。
我们借助一个算法题来加深理解。

问题:
给定一个整数数组 nums 和一个目标元素 target ,请在数组中搜索“和”为 target 的两个元素,并返回它们的数组索引。返回任意一个解即可。

线性查找:以时间换空间

考虑直接遍历所有可能的组合。如图所示,我们开启一个两层循环,在每轮中判断两个整数的和是否为target ,若是则返回它们的索引
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/* 方法一:暴力枚举 */
int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
	int size = nums.length;
	// 两层循环,时间复杂度 O(n^2)
	for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
		for (int j = i + 1; j < size; j++) {
			if (nums[i] + nums[j] == target)
				return new int[] { i, j };
		}
	}
	return new int[0];
}

此方法的时间复杂度为 𝑂(𝑛2) ,空间复杂度为 𝑂(1) ,在大数据量下非常耗时。

哈希查找:以空间换时间

考虑借助一个哈希表,键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组,每轮执行图所示的步骤。

  1. 判断数字 target - nums[i] 是否在哈希表中,若是则直接返回这两个元素的索引
  2. 将键值对 nums[i] 和索引 i 添加进哈希表。

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实现代码如下所示,仅需单层循环即可

/* 方法二:辅助哈希表 */
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target) {
	int size = nums.length;
	// 辅助哈希表,空间复杂度 O(n)
	Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
	// 单层循环,时间复杂度 O(n)
	for (int i = 0; i < size; i++) {
		if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
			return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
		}
		dic.put(nums[i], i);
	}
	return new int[0];
}

此方法通过哈希查找将时间复杂度从 𝑂(𝑛2) 降低至 𝑂(𝑛) ,大幅提升运行效率。

由于需要维护一个额外的哈希表,因此空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。
尽管如此,该方法的整体时空效率更为均衡,因此它是本题的最优解法。

重识搜索算法

搜索算法用于在数据结构(例如数组、链表、树或图)中搜索一个或一组满足特定条件的元素。

搜索算法可根据实现思路分为以下两类:

  • 通过遍历数据结构来定位目标元素,例如数组、链表、树和图的遍历等。
  • 利用数据组织结构或数据包含的先验信息,实现高效元素查找,例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树查找等。

什么是暴力搜索?

暴力搜索是通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。

  • “线性搜索”适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始,逐个访问元素,直到找到
    目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。
  • “广度优先搜索”和“深度优先搜索”是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索,由近及远地访问各个节点。深度优先搜索是从初始节点开始,沿着一条路径走到头为止,再回溯并尝试其他路径,直到遍历完整个数据结构。

暴力搜索的优点是简单且通用性好,无须对数据做预处理和借助额外的数据结构
然而,此类算法的时间复杂度为 𝑂(𝑛) ,其中 𝑛 为元素数量,因此在数据量较大的情况下性能较差。

什么是自适应搜索?

自适应搜索是利用数据的特有属性(例如有序性)来优化搜索过程,从而更高效地定位目标元素。
它常被称为查找算法,主要关注在特定数据结构中快速检索目标元素

  • “二分查找”利用数据的有序性实现高效查找,仅适用于数组。
  • 哈希查找”利用哈希表将搜索数据和目标数据建立为键值对映射,从而实现查询操作。
  • “树查找”在特定的树结构(例如二叉搜索树)中,基于比较节点值来快速排除节点,从而定位目标元素。

此类算法的优点是效率高,时间复杂度可达到 𝑂(log 𝑛) 甚至 𝑂(1)
然而,使用这些算法往往需要对数据进行预处理
例如,二分查找需要预先对数组进行排序,哈希查找和树
查找都需要借助额外的数据结构,维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开支。

搜索方法选取

给定大小为 𝑛 的一组数据,我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。
各个方法的工作原理如图 所示。
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上述几种方法的操作效率与特性如表所示

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搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。

线性搜索 :

  • 通用性较好,无须任何数据预处理操作。假如我们仅需查询一次数据,那么其他三种方法的数据预处理的时间比线性搜索的时间还要更长。
  • 适用于体量较小的数据,此情况下时间复杂度对效率影响较小。
  • 适用于数据更新频率较高的场景,因为该方法不需要对数据进行任何额外维护。

二分查找:

  • 适用于大数据量的情况,效率表现稳定,最差时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) 。
  • 数据量不能过大,因为存储数组需要连续的内存空间。
  • 不适用于高频增删数据的场景,因为维护有序数组的开销较大。

哈希查找:

  • 适合对查询性能要求很高的场景,平均时间复杂度为 𝑂(1) 。
  • 不适合需要有序数据或范围查找的场景,因为哈希表无法维护数据的有序性。
  • 对哈希函数和哈希冲突处理策略的依赖性较高,具有较大的性能劣化风险。
  • 不适合数据量过大的情况,因为哈希表需要额外空间来最大程度地减少冲突,从而提供良好的查询性能。

树查找:

  • 适用于海量数据,因为树节点在内存中是分散存储的。
  • 适合需要维护有序数据或范围查找的场景。
  • 在持续增删节点的过程中,二叉搜索树可能产生倾斜,时间复杂度劣化至 𝑂(𝑛) 。
  • 若使用 AVL 树或红黑树,则各项操作可在 𝑂(log 𝑛) 效率下稳定运行,但维护树平衡的操作会增加额外开销。

总结

  • 二分查找依赖于数据的有序性,通过循环逐步缩减一半搜索区间来实现查找。它要求输入数据有序,且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。
  • 暴力搜索通过遍历数据结构来定位数据。线性搜索适用于数组和链表,广度优先搜索和深度优先搜索适用于图和树。此类算法通用性好,无须对数据预处理,但时间复杂度 𝑂(𝑛) 较高。
  • 哈希查找、树查找和二分查找属于高效搜索方法,可在特定数据结构中快速定位目标元素。此类算法效率高,时间复杂度可达 𝑂(log 𝑛) 甚至 𝑂(1) ,但通常需要借助额外数据结构。
  • 实际中,我们需要对数据体量、搜索性能要求、数据查询和更新频率等因素进行具体分析,从而选择合适的搜索方法。
  • 线性搜索适用于小型或频繁更新的数据;二分查找适用于大型、排序的数据;哈希查找适合对查询效率要求较高且无须范围查询的数据;树查找适用于需要维护顺序和支持范围查询的大型动态数据。
  • 用哈希查找替换线性查找是一种常用的优化运行时间的策略,可将时间复杂度从 𝑂(𝑛) 降低至 𝑂(1) 。

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_43285931/article/details/134976602
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