控制第八章 非线性系统【自用/最新】

Q 非线性部分指的是输入、控制器、执行器、还是输出？

指的是：在进行一系列等效后，将系统分为 单位负反馈 下 非线性部分与线性部分串联 的结构中，非线性部分前的输入

• 这种等效需要最左边输入r=0
• 这种等效后的输出可能与原输出不一致了

Q 非线性的表达式怎么与传递函数对应？

比如：$\ddot{x}+\dot{x}+x=0$对应的传递函数是什么样的？
回答：
这是一种数学思想，其意思为x存在一个微小变化$\Delta x$时，$\ddot{x}$ 变为$\Delta \ddot{x}$，$\dot{x}$变为$\Delta \dot{x}$，常数项变为0。
然后列出特征方程

Q 什么叫“平衡点”，是稳定的点/最终收敛到的点吗

并不是 平衡点指的是$\ddot{x}$和$\dot{x}$均为0的点，这些点处的x不动。
对于线性定常系统，原点是唯一平衡点

K 非线性系统不满足叠加性

相平面法

基本概念

相轨迹

相平面上的轨迹叫做相轨迹
相轨迹横坐标是$x$，纵坐标是$\dot{x}$，斜率是$\frac{d\dot{x}}{dx}$【后面等倾斜线法有用】

相轨迹的运动方向

上半平面$\dot{x}>0$：向右移动
下半平面$\dot{x}<0$：向左移动

相平面的平衡点（奇点）

$\ddot{x}$和$\dot{x}$均为0的点
对于线性定常系统，原点是唯一平衡点

特征方程

指求出平衡点后，一个平衡点对应一个方程。
特征方程的定义笔者比较模糊，但是大致意思是：在平衡点附近，一个微小增量的表达式。
见下图两个例子

$\Delta {\dot{x}}^2$的部分省略了，因为他是$\Delta x$的高阶无穷小。
?

等价无穷小之间，可以进行替换

特征方程式根对应图像

根据特征方程式的根分布情况，共有六种相轨迹

等倾斜线法

等倾斜线法思路

做出一系列相轨迹斜率为常数的曲线，目的是求出斜率

$$\begin{array}{rl}\ddot{x}& =\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=?f(x,\dot{x})\\ \alpha & =\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{?f(x,\dot{x})}{\dot{x}}\end{array}$$
思路：

• 把$\alpha$看作常数，记录一系列$\alpha$对应的斜率
• 相轨迹穿过该线时的斜率为已知

相平面-强化【20231102】

相轨迹绘制专类

Q 绘制相轨迹，何时根据渐近线，何时根据奇点

假设相轨迹方程如下式：$$\ddot{e}+a\dot{e}+be=c$$

A1 当e前系数b不为零时，用奇点判断

a≠0 b≠0 c任意时， 写特征方程判断奇点类型

a=0 b≠0 c任意时，奇点为中心点或者鞍点

此处只列举了中心点的情况，挺笨的没什么好说

【?具体的图像需要，等倾斜线法？】

A2 当e前系数b为零

a≠0 b=0 c≠0，水平渐近线

此时$\ddot{e}+a\dot{e}=c$，可以求出$\dot{e}=\frac{c}{a}$【可以简单记为：去掉$\ddot{e}$后求解】
此时系统中所有相轨迹都趋向于该水平渐近线

a=0 b=0 c=0， 相轨迹为某条平行横轴直线

a=0 b=0 c≠0，相轨迹为抛物线

a≠0 b=0 c=0，相轨迹为一群斜率相等的直线

什么时候根据奇点类型判断、什么时候根据渐近线判断？
答：当e前的系数不等于0时，求出奇点类型进行判断，等于0时，判断是直线/渐近线/抛物线
【个人感觉$a\ne 0,b=0,c\ne 0$】是最恶心的

Q 怎么求奇点，奇点/稳定点/特征方程特征根区别

特征方程是针对不同奇点展开的，是用来判断奇点的性质的
奇点：令各阶导函数为零、求出来的点
特征方程：在各个奇点处的方程

Q 求奇点

解析函数求偏导

最后的线性化方程中，一阶导前的系数是非线性方程对一阶导数求偏导；
最后的线性化方程中，变量前的系数是非线性方程对变量求偏导

小误差🌟🌟

令$x_1=x_{e1}+\Delta x$，其中$x_{e1}$是奇点的横坐标；
对于该式求导，最终可以将非线性系统化简成关于$\Delta x(\Delta \dot{x},\Delta \ddot{x})$的微分方程，根据该式，列写特征方程从而判断奇点类型
注意：$(\Delta x{)}^2$是$\Delta x$的高阶无穷小，可以直接令其等于零

举例

Q 各种不同奇点图像类型汇总🌟

稳定焦点-具有负实部的共轭复根-向心螺旋线

类似欠阻尼

稳定节点-两负实根-两个渐近线

类似过阻尼

中心点-一对纯虚根-圆或椭圆

类似等幅振荡

鞍点-一正一负纯实根-非震荡发散

Q 等倾斜线法的原理，及何时使用此方法

使用条件：??

$$\ddot{e}+a\dot{e}=c(a\ne 0,c\ne 0)$$

原理：设相平面斜率为某个常值

将$\alpha =\frac{d\dot{e}}{de}$的值固定下来，则上式化为$\alpha \dot{e}+a\dot{e}=c$

重要原则🌟

高等数学知识-求解微分方程

$$\ddot{e}=\dot{e}\frac{d\dot{e}}{de}$$

相轨迹方向问题

当$\dot{e}>0$时，e增加，方向向右
当$\dot{e}<0$时，e减小，方向向左
相轨迹必将垂直穿过横轴处【斜率为无穷大】

微分方程大分类

见上述问题"Q 绘制相轨迹"

解题思路

1. 写出分区微分方程，写出开关线
2. 分区域讨论微分方程
3. 画图

补充：相轨迹时间计算🌟

积分法

A,B是起点、终点的横坐标
注意：跨过$\dot{e}=0$的线上下两端表达式可能不一样

举例1 计算时间

描述函数法【20231103】

Q N(A)的定义是什么

N(A)称为描述函数，是正弦输入信号作用下，非线性系统稳态输出中，一次谐波分量和输入信号的复数比。
A对应的幅值，是输入（传向非线性环节的信号）$x(t)$的对应幅值

因此，若要使用描述函数法，需要具备以下两个条件：①可化为非线性环节与线性环节的串联②非线性部分具有奇对称性
为了让描述函数法更好的工作，_______还应该满足以下性质
①低通滤波性②输入可以由一次谐波分量进行近似

Q* 为什么不考虑$\omega$

描述函数一般为输入信号振幅$A$的函数、当非线性环节中包含储能元件时，描述函数才同时为输入信号振幅$A$和频率$\omega$的函数，此时记为$N(A,\omega )$【考研不涉及此情况】

Q* “输入为正弦”指的是等效非线性环节前的信号还是系统的输入？

是等效非线性环节【即$N(A)$】前的信号，往往

Q* 为什么描述函数法中不考虑输入

因为描述函数法中假设了输入为0，A是在非线性系统前的正弦信号幅值
另外，在描述函数法中，系统输入r(t)=0

Q 当我们描述“存在自激振荡”时，非稳定点A0的其他点A是否会趋近于A0？

问题在于，幅值A是不断进行着周期运动，还是收敛于稳定点A0呢？
直接给出答案，是收敛于A0的；

不然A也太难看了，自己本身是正弦的幅值，自己还在周期运动

Q 如何理解描述函数法

$$1+N(A)G(s)=0?G(s)=?\frac{1}{N(A)}$$

• 相当于绘制了“广义奈奎斯特曲线”，该坐标轴下的(-1,j0)点实际上在变化；
  实际上，原来的(-1,j0)点现在变成了(-$\frac{1}{N(A)}$,j0)
  描述函数求的是G(s=j$\omega$)（奈奎斯特曲线）与实轴交点和点(-$\frac{1}{N(A)}$,j0)的关系
  这个关系往往列出两个等式【实轴、虚轴】，从而得到$A$和$\omega$

• 要理解“稳定”的含义：
  有变小的趋势叫稳定
  有变大的趋势叫不稳定
  因此不稳定向稳定走才是稳定点

• 有交点，表明存在极限环，但是需要另外分析极限环的稳定性

重要公式

一类经典奈奎斯特曲线及特殊点

$$\begin{array}{l}G(s)=\frac{k}{s\left(T_{1}s+1\right)\left(T_{2}s+1\right)}\\ \\ 与实轴交点处：\\ \\ {\omega }_x=\frac{1}{\sqrt{T_1?T_2}}\\ \\ Re=?k\frac{T_1?T_2}{T_1+T_2}\\ \\ \text{?渐近线:?}?k\left(T_1+T_2\right)【可以不求】\end{array}$$
图像【图中黑色线】

解题思路

1. 非线性的合并化简

通过特征方程法【就是第一张学过的那个回路相加】，或者等效结构图法【同样是第一章学过的结构图化简，化简成一个反馈回路且回路中只有非线性部分+线性部分即可】

注意：这两种等效有时候都会改变输出！
极个别题目问输出的一些性质，此时最好用结构图法【特征方程法】
比如：

2 考察公式背诵，广义(-1,j0)点相关性质

求出真正的极限环【从不稳定走向稳定】的点和频率特征
利用线性部分与实轴交点、广义(-1,j0)点的一些性质解题

李雅普诺夫

基础知识

状态稳定(内部稳定)vs输出稳定(BIBO稳定、外部稳定)【仅针对定常系统】

在之前的传统控制中，我们要求的是输出稳定，即BIBO稳定，只需要极点具有负实部，这是输出稳定
现在在多输入多输出中，我们引入了状态变量。稳定性只取决于系统的结构和参数，和系统的初始条件及扰动、输出等无关。因此只需考虑A矩阵；状态稳定指A矩阵所有特征值小于零，这是状态稳定
状态稳定可以推输出稳定【$y=Cx$，状态乘以系数就得到输出了，因此稳定性不会变化】
但是输出稳定不能推状态稳定

平衡状态与平衡点

状态指的是高阶导数恒等于零的状态（？）
点指的就是那个点

补充

线性定常系统只有一个平衡状态

李雅普诺夫意义下的稳定性定义：“小圆内的点离不开大圆”

“小圆内的点离不开大圆”

直观解释

渐近稳定：“小圆内的点趋向于零点”

如果平衡点不在零点，可以通过平移手段将平衡点变为零点，因此统一以零点为考量

直观解释

大范围渐近稳定：“任何点趋向于零点”

直观解释【同上图】

二次型标量函数：即实矩阵对应的二次型形式

希尔维斯特判据：判断矩阵的正负定情况

补充说明?【包括一个比较重要的线性定常系统结论】

• 稳定与一致稳定在线性定常系统中等价
• 等幅振荡是李雅普诺夫意义下的稳定
• 线性定常系统只有一个平衡状态
• 线性定常系统如果渐近稳定，则一定大范围渐近稳定
• 李雅普诺夫意义下的稳定包含渐近稳定
  【临界稳定+渐近稳定=李雅普诺夫意义下稳定】

李一(间接法)

线性系统 判断渐近稳定/李雅普诺夫意义下稳定的方法

非线性系统? 判断稳定性【不存在矩阵A了】

处理方法：线性化处理

渐近稳定的充要条件是所有特征值具有负实部，如果有实部为零的根，方法失效

举例1 非线性系统判断稳定性例题

李二(直接法)

基本思路

借助李雅普诺夫函数$V(x)$直接判断系统稳定性，是从能量的观点进行分析的

求解方法1 选取标量函数

从能量的角度考虑
$\dot{V}(x)$正定说明能量一直增大，就“飞走了”
$\dot{V}(x)$负定说明能量一直减小，就“收敛了”
有求解方法可知，李雅普诺夫意义下的稳定包含渐近稳定

补充 $\dot{V}(x)\equiv 0$也是半负定，李雅普诺夫意义下稳定

举例1🌟 稍微复杂一点的渐近稳定判据

在这道题$\dot{V}(x)$判断出半负定之后，应该判断有没有可能$\dot{V}(x)\equiv 0$【即求出系统的所有受扰运动解】，判断方法如下：

在条件$\dot{V}(x)\equiv 0$下，有$x_2=0$ 则 ${\dot{x}}_2\equiv 0$
根据状态方程，可知$x_1=0$，从而只在平衡点满足要求

注意书写过程！

求解方法2 李二在线性系统中的应用🌟

一些推导过程

设线性定常连续系统中有
$$\dot{x}=Ax$$
取李雅普诺夫函数为二次型标量函数:
$$V(x)=x^{T}Px$$
则:
$$\begin{gathered} \dot{V}(x)=x^{T}P\dot{x}+{\dot{x}}^{T}Px=x^{T}PAx+(Ax{)}^{T}Px \\ =x^T\left(PA+A^{T}P\right)x=?x^{T}Qx \end{gathered}$$
其中Q满足：
$$A^{T}P+PA=?Q$$

李雅普诺夫方程为【P、Q均为对称阵】
$$A^{T}P+PA=?Q$$
如果满足P正定、Q正定，则平衡状态就是渐近稳定的

补充说明

• 线性定常该系统的平衡状态在零点
• 🌟🌟实际应用时，通常先取一个正定矩阵$Q$，常取$Q=I$，然后带入李雅普诺夫方程，判定$P$的正定性。
• 若$\dot{V}(x)$不恒为零，那么$Q$可取为半正定的。【一般也用不到】
• 按照这种方法，也可以把$V(x)$和$\dot{V}(x)$写出来，利用李一验证$\dot{V}(x)$【考试不用写】

举例1 李二经典题，令Q为单位阵，求P