控制第八章 非线性系统【自用/最新】

2023-12-20 02:16:53

目录标题

Q 非线性部分指的是输入、控制器、执行器、还是输出?

指的是:在进行一系列等效后,将系统分为 单位负反馈非线性部分线性部分串联 的结构中,非线性部分前的输入

  • 这种等效需要最左边输入r=0
  • 这种等效后的输出可能与原输出不一致

Q 非线性的表达式怎么与传递函数对应?

比如: x ¨ + x ˙ + x = 0 \ddot x + \dot x + x=0 x¨+x˙+x=0对应的传递函数是什么样的?
回答:
这是一种数学思想,其意思为x存在一个微小变化 Δ x \Delta x Δx时, x ¨ \ddot x x¨ 变为 Δ x ¨ \Delta\ddot x Δx¨ x ˙ \dot x x˙变为 Δ x ˙ \Delta \dot x Δx˙,常数项变为0。
然后列出特征方程

Q 什么叫“平衡点”,是稳定的点/最终收敛到的点吗

并不是 平衡点指的是 x ¨ \ddot x x¨ x ˙ \dot x x˙均为0的点,这些点处的x不动。
对于线性定常系统,原点是唯一平衡点

K 非线性系统不满足叠加性

相平面法

基本概念

相轨迹

相平面上的轨迹叫做相轨迹
相轨迹横坐标是 x x x,纵坐标是 x ˙ \dot x x˙,斜率是 d x ˙ d x \frac{d\dot x}{dx} dxdx˙?【后面等倾斜线法有用】
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相轨迹的运动方向

上半平面 x ˙ > 0 \dot x > 0 x˙>0:向右移动
下半平面 x ˙ < 0 \dot x < 0 x˙<0:向左移动

相平面的平衡点(奇点)

x ¨ \ddot x x¨ x ˙ \dot x x˙均为0的点
对于线性定常系统,原点是唯一平衡点

特征方程

指求出平衡点后,一个平衡点对应一个方程。
特征方程的定义笔者比较模糊,但是大致意思是:在平衡点附近,一个微小增量的表达式。
见下图两个例子

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Δ x ˙ 2 \Delta \dot x^2 Δx˙2的部分省略了,因为他是 Δ x \Delta x Δx的高阶无穷小。
?
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等价无穷小之间,可以进行替换

特征方程式根对应图像

根据特征方程式的根分布情况,共有六种相轨迹
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等倾斜线法

等倾斜线法思路

做出一系列相轨迹斜率为常数的曲线,目的是求出斜率

x ¨ = d x ˙ d x d x d t = x ˙ d x ˙ d x = ? f ( x , x ˙ ) α = d x ˙ d x = ? f ( x , x ˙ ) x ˙ \begin{aligned} \ddot{x} & =\frac{d \dot{x}}{d x} \frac{d x}{d t}=\dot{x} \frac{d \dot{x}}{d x}=-f(x, \dot{x}) \\ \alpha & = \frac{d\dot x}{dx}=\frac{-f(x, \dot{x})}{\dot{x}} \end{aligned} x¨α?=dxdx˙?dtdx?=x˙dxdx˙?=?f(x,x˙)=dxdx˙?=x˙?f(x,x˙)??
思路:

  • α \alpha α看作常数,记录一系列 α \alpha α对应的斜率
  • 相轨迹穿过该线时的斜率为已知

相平面-强化【20231102】

相轨迹绘制专类

Q 绘制相轨迹,何时根据渐近线,何时根据奇点

假设相轨迹方程如下式: e ¨ + a e ˙ + b e = c \ddot e + a\dot e + be=c e¨+ae˙+be=c

A1 当e前系数b不为零时,用奇点判断

a≠0 b≠0 c任意时, 写特征方程判断奇点类型

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a=0 b≠0 c任意时,奇点为中心点或者鞍点

此处只列举了中心点的情况,挺笨的没什么好说
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【?具体的图像需要,等倾斜线法?】

A2 当e前系数b为零

a≠0 b=0 c≠0,水平渐近线

此时 e ¨ + a e ˙ = c \ddot e + a\dot e =c e¨+ae˙=c,可以求出 e ˙ = c a \dot e = \frac{c}{a} e˙=ac?【可以简单记为:去掉 e ¨ \ddot e e¨后求解】
此时系统中所有相轨迹都趋向于该水平渐近线
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a=0 b=0 c=0, 相轨迹为某条平行横轴直线
a=0 b=0 c≠0,相轨迹为抛物线

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a≠0 b=0 c=0,相轨迹为一群斜率相等的直线

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什么时候根据奇点类型判断、什么时候根据渐近线判断?
答:当e前的系数不等于0时,求出奇点类型进行判断,等于0时,判断是直线/渐近线/抛物线
【个人感觉 a ≠ 0 , b = 0 , c ≠ 0 a \neq 0, b = 0, c \neq 0 a=0,b=0,c=0】是最恶心的

Q 怎么求奇点,奇点/稳定点/特征方程特征根区别

特征方程是针对不同奇点展开的,是用来判断奇点的性质的
奇点:令各阶导函数为零、求出来的点
特征方程:在各个奇点处的方程

Q 求奇点

解析函数求偏导

最后的线性化方程中,一阶导前的系数是非线性方程对一阶导数求偏导;
最后的线性化方程中,变量前的系数是非线性方程对变量求偏导

小误差🌟🌟

x 1 = x e 1 + Δ x x_1=x_{e1}+\Delta x x1?=xe1?+Δx,其中 x e 1 x_{e1} xe1?是奇点的横坐标;
对于该式求导,最终可以将非线性系统化简成关于 Δ x ( Δ x ˙ , Δ x ¨ ) \Delta x(\Delta \dot x, \Delta \ddot x) Δx(Δx˙,Δx¨)的微分方程,根据该式,列写特征方程从而判断奇点类型
注意: ( Δ x ) 2 (\Delta x)^2 (Δx)2 Δ x \Delta x Δx的高阶无穷小,可以直接令其等于零

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举例

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Q 各种不同奇点图像类型汇总🌟

稳定焦点-具有负实部的共轭复根-向心螺旋线

类似欠阻尼
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稳定节点-两负实根-两个渐近线

类似过阻尼
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中心点-一对纯虚根-圆或椭圆

类似等幅振荡
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鞍点-一正一负纯实根-非震荡发散

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Q 等倾斜线法的原理,及何时使用此方法

使用条件:??

e ¨ + a e ˙ = c ( a ≠ 0 , c ≠ 0 ) \ddot e + a\dot e =c (a \neq 0, c \neq 0) e¨+ae˙=c(a=0,c=0)

原理:设相平面斜率为某个常值

α = d e ˙ d e \alpha = \frac{d\dot e}{de} α=dede˙?的值固定下来,则上式化为 α e ˙ + a e ˙ = c \alpha \dot e + a \dot e = c αe˙+ae˙=c

重要原则🌟

高等数学知识-求解微分方程

e ¨ = e ˙ d e ˙ d e \ddot e = \dot e \frac{d\dot e}{de} e¨=e˙dede˙?

相轨迹方向问题

e ˙ > 0 \dot e>0 e˙>0时,e增加,方向向右
e ˙ < 0 \dot e<0 e˙<0时,e减小,方向向左
相轨迹必将垂直穿过横轴处【斜率为无穷大】

微分方程大分类

见上述问题"Q 绘制相轨迹"

解题思路

  1. 写出分区微分方程,写出开关线
  2. 分区域讨论微分方程
  3. 画图

补充:相轨迹时间计算🌟

积分法

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A,B是起点、终点的横坐标
注意:跨过 e ˙ = 0 \dot e=0 e˙=0的线上下两端表达式可能不一样

举例1 计算时间

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描述函数法【20231103】

Q N(A)的定义是什么

N(A)称为描述函数,是正弦输入信号作用下,非线性系统稳态输出中,一次谐波分量输入信号的复数比。
A对应的幅值,是输入(传向非线性环节的信号) x ( t ) x(t) x(t)的对应幅值
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因此,若要使用描述函数法,需要具备以下两个条件:①可化为非线性环节与线性环节的串联②非线性部分具有奇对称性
为了让描述函数法更好的工作,_______还应该满足以下性质
①低通滤波性②输入可以由一次谐波分量进行近似

Q* 为什么不考虑 ω \omega ω

描述函数一般为输入信号振幅 A A A的函数、当非线性环节中包含储能元件时,描述函数才同时为输入信号振幅 A A A和频率 ω \omega ω的函数,此时记为 N ( A , ω ) N(A, \omega) N(A,ω)【考研不涉及此情况】

Q* “输入为正弦”指的是等效非线性环节前的信号还是系统的输入?

等效非线性环节【即 N ( A ) N(A) N(A)】前的信号,往往

Q* 为什么描述函数法中不考虑输入

因为描述函数法中假设了输入为0,A是在非线性系统前正弦信号幅值
另外,在描述函数法中,系统输入r(t)=0

Q 当我们描述“存在自激振荡”时,非稳定点A0的其他点A是否会趋近于A0?

问题在于,幅值A是不断进行着周期运动,还是收敛于稳定点A0呢?
直接给出答案,是收敛于A0的;

不然A也太难看了,自己本身是正弦的幅值,自己还在周期运动

Q 如何理解描述函数法

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1 + N ( A ) G ( s ) = 0 ? G ( s ) = ? 1 N ( A ) 1+N(A) G(s)=0 \Rightarrow G(s)=-\frac{1}{N(A)} 1+N(A)G(s)=0?G(s)=?N(A)1?

  • 相当于绘制了“广义奈奎斯特曲线”,该坐标轴下的(-1,j0)点实际上在变化;
    实际上,原来的(-1,j0)点现在变成了(- 1 N ( A ) \frac{1}{N(A)} N(A)1?,j0)
    描述函数求的是G(s=j ω \omega ω)(奈奎斯特曲线)与实轴交点和点(- 1 N ( A ) \frac{1}{N(A)} N(A)1?,j0)的关系
    这个关系往往列出两个等式【实轴、虚轴】,从而得到 A A A ω \omega ω

  • 要理解“稳定”的含义:
    有变小的趋势叫稳定
    有变大的趋势叫不稳定
    因此不稳定向稳定走才是稳定点

  • 有交点,表明存在极限环,但是需要另外分析极限环的稳定性

重要公式

一类经典奈奎斯特曲线及特殊点

G ( s ) = k s ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) 与实轴交点处: ω x = 1 T 1 ? T 2 R e = ? k T 1 ? T 2 T 1 + T 2 ?渐近线:? ? k ( T 1 + T 2 ) 【可以不求】 \begin{array}{l} G(s)=\frac{k}{s\left(T_{1} s+1\right)\left(T_{2} s+1\right)} \\\\ 与实轴交点处:\\\\ \omega_{x}=\frac{1}{\sqrt{T_{1} \cdot T_{2}}} \\\\ R e=-k \frac{T_{1} \cdot T_{2}}{T_{1}+T_{2}} \\\\ \text { 渐近线: }-k\left(T_{1}+T_{2}\right)【可以不求】 \end{array} G(s)=s(T1?s+1)(T2?s+1)k?与实轴交点处:ωx?=T1??T2? ?1?Re=?kT1?+T2?T1??T2???渐近线:??k(T1?+T2?)【可以不求】?
图像【图中黑色线】
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解题思路

1. 非线性的合并化简

通过特征方程法【就是第一张学过的那个回路相加】,或者等效结构图法【同样是第一章学过的结构图化简,化简成一个反馈回路且回路中只有非线性部分+线性部分即可】

注意:这两种等效有时候都会改变输出
极个别题目问输出的一些性质,此时最好用结构图法【特征方程法】
比如:在这里插入图片描述
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2 考察公式背诵,广义(-1,j0)点相关性质

求出真正的极限环【从不稳定走向稳定】的点和频率特征
利用线性部分与实轴交点、广义(-1,j0)点的一些性质解题

李雅普诺夫

基础知识

状态稳定(内部稳定)vs输出稳定(BIBO稳定、外部稳定)【仅针对定常系统】

在之前的传统控制中,我们要求的是输出稳定,即BIBO稳定,只需要极点具有负实部,这是输出稳定
现在在多输入多输出中,我们引入了状态变量。稳定性只取决于系统的结构和参数,和系统的初始条件及扰动、输出等无关。因此只需考虑A矩阵;状态稳定指A矩阵所有特征值小于零,这是状态稳定
状态稳定可以推输出稳定【 y = C x y=Cx y=Cx,状态乘以系数就得到输出了,因此稳定性不会变化】
但是输出稳定不能推状态稳定
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平衡状态与平衡点

状态指的是高阶导数恒等于零的状态(?)
点指的就是那个点
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补充

线性定常系统只有一个平衡状态

李雅普诺夫意义下的稳定性定义:“小圆内的点离不开大圆”

“小圆内的点离不开大圆”
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直观解释

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渐近稳定:“小圆内的点趋向于零点”

如果平衡点不在零点,可以通过平移手段将平衡点变为零点,因此统一以零点为考量

直观解释

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大范围渐近稳定:“任何点趋向于零点”

直观解释【同上图】

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二次型标量函数:即实矩阵对应的二次型形式

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希尔维斯特判据:判断矩阵的正负定情况

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补充说明?【包括一个比较重要的线性定常系统结论】

  • 稳定与一致稳定在线性定常系统中等价
  • 等幅振荡是李雅普诺夫意义下的稳定
  • 线性定常系统只有一个平衡状态
  • 线性定常系统如果渐近稳定,则一定大范围渐近稳定
  • 李雅普诺夫意义下的稳定包含渐近稳定
    【临界稳定+渐近稳定=李雅普诺夫意义下稳定】

李一(间接法)

线性系统 判断渐近稳定/李雅普诺夫意义下稳定的方法

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非线性系统? 判断稳定性【不存在矩阵A了】

处理方法:线性化处理

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渐近稳定的充要条件是所有特征值具有负实部,如果有实部为零的根,方法失效

举例1 非线性系统判断稳定性例题

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李二(直接法)

基本思路

借助李雅普诺夫函数 V ( x ) V(x) V(x)直接判断系统稳定性,是从能量的观点进行分析的

求解方法1 选取标量函数

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从能量的角度考虑
V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正定说明能量一直增大,就“飞走了”
V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)负定说明能量一直减小,就“收敛了”
有求解方法可知,李雅普诺夫意义下的稳定包含渐近稳定

补充 V ˙ ( x ) ≡ 0 \dot V(x)\equiv 0 V˙(x)0也是半负定,李雅普诺夫意义下稳定
举例1🌟 稍微复杂一点的渐近稳定判据

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在这道题 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)判断出半负定之后,应该判断有没有可能 V ˙ ( x ) ≡ 0 \dot V(x)\equiv 0 V˙(x)0【即求出系统的所有受扰运动解】,判断方法如下:

在条件 V ˙ ( x ) ≡ 0 \dot V(x)\equiv 0 V˙(x)0下,有 x 2 = 0 x_2 = 0 x2?=0 x ˙ 2 ≡ 0 \dot x_2 \equiv 0 x˙2?0
根据状态方程,可知 x 1 = 0 x_1=0 x1?=0,从而只在平衡点满足要求

注意书写过程!

求解方法2 李二在线性系统中的应用🌟

一些推导过程

设线性定常连续系统中有
x ˙ = A x \dot x = A x x˙=Ax
取李雅普诺夫函数为二次型标量函数:
V ( x ) = x T P x V(x)=x^{T} P x V(x)=xTPx
则:
V ˙ ( x ) = x T P x ˙ + x ˙ T P x = x T P A x + ( A x ) T P x = x T ( P A + A T P ) x = ? x T Q x \dot{V}(x)=x^{T} P \dot{x}+\dot{x}^{T} P x=x^{T} P A x+(A x)^{T} P x\\=x^{T}\left(P A+A^{T} P\right) x=-x^{T} Q x V˙(x)=xTPx˙+x˙TPx=xTPAx+(Ax)TPx=xT(PA+ATP)x=?xTQx
其中Q满足:
A T P + P A = ? Q A^{T} P+P A=-Q ATP+PA=?Q

李雅普诺夫方程为【P、Q均为对称阵】
A T P + P A = ? Q A^{T} P+P A=-Q ATP+PA=?Q
如果满足P正定、Q正定,则平衡状态就是渐近稳定的

补充说明
  • 线性定常该系统的平衡状态在零点
  • 🌟🌟实际应用时,通常先取一个正定矩阵 Q Q Q,常取 Q = I Q=I Q=I,然后带入李雅普诺夫方程,判定 P P P的正定性。
  • V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)不恒为零,那么 Q Q Q可取为半正定的。【一般也用不到】
  • 按照这种方法,也可以把 V ( x ) V(x) V(x) V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)写出来,利用李一验证 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)【考试不用写】
举例1 李二经典题,令Q为单位阵,求P

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文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_51772802/article/details/134337482
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