记一个逐元素优化问题中遇到的小问题

问题思路

$$\underset{{\theta }_l}{\max }?\left\{b_2{\theta }_l^2+b_1{\theta }_l\right\}\text{,?s.t.?}\left|{\theta }_l\right|=1\text{,?}$$

其中涉及的变量都是复数，这个问题应该如何用一维搜索去求解呢？

如果涉及的变量都是复数，并且你想使用一维搜索进行求解，那么可以考虑使用参数化表示复数。复数 (${\theta }_l$) 可以写成形式 (${\theta }_l=\cos (?)+i\sin (?)$)，其中 ($?$) 是一个实数参数。

由于问题中的约束是 ($|{\theta }_l|=1$)，我们有 (${\cos }^2(?)+{\sin }^2(?)=1$)，因此可以通过参数 ($?$) 表示复数 (${\theta }_l$)。然后，将 (${\theta }_l$) 代入目标函数进行最大化。考虑到 ( ? { z } = z + z ˉ 2 \Re\{z\} = \frac{z + \bar{z}}{2} ?{z}=2z+zˉ?)，其中 ($\bar{z}$) 表示复共轭，目标函数可以改写为：

[$?\left\{b_2{\theta }_l^2+b_1{\theta }_l\right\}=\frac{1}{2}\left(b_2(\cos (?)+i\sin (?){)}^2+b_1(\cos (?)+i\sin (?))\right)+\text{共轭项}$]

接着，你可以把实部展开并忽略掉共轭项，得到一个只包含 ($?$) 的实函数。接下来，你可以使用一维搜索的方法，比如二分法或黄金分割法，来找到使得目标函数最大化的 ($?$) 值。

需要注意的是，由于涉及到复数，可能存在多个局部最优解。在进行搜索时，初始点的选择和搜索范围的设定都可能影响最终结果。

具体实现

fmincon只能处理输入以及目标函数都是实数（实向量，实矩阵）的情形，如果不是，需要对其进行转化。

整个过程可以取代一维搜索。

由于b2, b1都是复数，需要分成实部和虚部分别去乘开，然后对整体结果取实部。

    %%%%%%%%%%%%% 采用fmincon的搜索

    realB2 = real(B2);
    imagB2 = imag(B2);
    realB1 = real(B1);
    imagB1 = imag(B1);

    % 定义目标函数
    fun = @(varthet) - (realB2 * (cos(varthet)^2 - sin(varthet)^2) + realB1 * cos(varthet) - 2 * imagB2 * cos(varthet) * sin(varthet) - imagB1 * sin(varthet) );

% 初始猜测值
x0 = 0;

% 定义不等式约束：|varthet| <= pi
A = [];
b = [];

% 定义等式约束（无等式约束时为空）
Aeq = [];
beq = [];

% 定义变量的上下界
lb = -pi;
ub = pi;

% 使用 fmincon 求解
options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'off');
[x_max, f_max] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);

% 打印结果
% disp('Optimal varthet:');
% disp(x_max);
% disp('Maximum function value:');
% disp(-f_max);  % 因为 fmincon 最小化目标函数，所以取相反数得到最大值

thet_next(l) = cos(x_max) + 1j * sin(x_max);