【C++】：AVL树

2023-12-14 18:41:47

朋友们、伙计们，我们又见面了，本期来给大家解读一下有关多态的知识点，如果看完之后对你有一定的启发，那么请留下你的三连，祝大家心想事成！

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1. AVL树的概念

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(\log N)$ ，搜索时间复杂度 $O(\log N)$ 。

2. AVL树节点的定义

在这里我们定义AVL树使用一个pair来存储数据，关于AVL树其中除了左右子树的节点指针，还需要一个记录父亲的节点指针，并且需要存储一个平衡因子。平衡因子是右子树的高度减去左子树的高度。
//AVL树节点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;   //左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right;  //右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父节点
	pair<K, V> _kv;             //存储节点数据的kv模型
	int _bf;                    //平衡因子

	//
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

如果插入的节点在左边，那么就需要将平衡因子--，如果插入的节点在右边，平衡因子就需要++，并且需要注意的是当平衡因子改变之后，如果为0，代表平衡，不需要其他操作，如果改变之后为1或者-1，那么同样的也需要对它祖先的平衡因子进行改变，直到它的父节点为空即可停止，如果改变之后的平衡因子为-2或者2，那么就表示出现的不平衡现象，需要进行旋转。
//插入
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			retrun true;
		}
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->rigth;
			}
			else
				retrun false;
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//2. 调整节点的平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)    //插入的节点在左边时，平衡因子--
				parent->_bf--;
			else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)        //判断平衡因子时候合理
				break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入新的节点导致高度变化，
															 //所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//平衡出现差错，需要进行旋转调整
				//...
			}
			else   //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了
				assert(false);
		}
		return true;
	}

3.1 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

需要注意的一个点，我们不确定这棵树是不是另外一棵树的一个子树，所以还需要将parent的父亲记录下来，如果这棵树就是独立的，那么只需要将subL设置为新的根节点即可，如果是另外一棵树的子树，那么就需要将旋转完之后的树链接在它的祖先上。

首先将根节点记为parent，因为需要右旋，所以肯定是左边高往右边旋转，所以将parent的左子树记为subL，将subL的右子树记为subLR，接下来就需要需要旋转了，将parent的左指向subLR，然后将subL的右指向parent，这样子就完成了右旋。

需要注意的是在修改完各各节点的链接时，它们原来的父亲关系就需要重新设置，比如上面的图，将parent的父亲指向subL，将subLR的父亲指向parent（subLR不一定为空，所以需要判断一下再进行链接）此时只需要将各各节点的平衡因子修改即可，在右旋之后可以发现subL和parent的平衡因子都变成了0，所以直接对它们各自的平衡因子修改即可
//右单旋
	void Rotate_right(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		//旋转链接
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
		//链接祖先
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		//修改平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
2. 左单旋

左单旋和右单旋的情况类似，只不过左单旋是右边高往左边旋转，类似的可以参考右单旋的思路。
//左单旋
	void Rotate_left(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;  //右子树的节点
		Node* subRL = subR->_left;    //
		Node* ppNode = parent->_parent;
		//旋转->重新链接
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		//链接祖先
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subR;
			else
				ppNode->_right = subR;
			subR->_parent = ppNode;
		}
		//修改平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
3. 先左单旋再右单旋（双旋）

左右双旋在这里依旧存在三种情况：

①插入在subLR的左边

②插入在subLR的右边

③subLR就是新插入的节点

双旋的情况可以看到是一个折线的样子，根据偏转的方向来确定首先向哪边旋转，先将根节

点记为parent，再将parent的左记为subL，将subL的右记为subLR，先以subL为根进行左单旋，然后再以parent为根进行右单旋。然后根据上述三种情况修改平衡因子。

可以根据subLR的平衡因子来修改parent、subL、subLR的平衡因子：

①如果subLR的平衡因子是-1，那么在双旋完之后，需要将parent的平衡因子修改为1，将其他两个修改为0。

②如果subLR的平衡因子是1，那么在双旋完之后，需要将subL的平衡因子修改为-1，将其他两个修改为0。

③如果subLR的平衡因子是0，那么parent、subL、subLR的平衡因子修改为0。
//左右双旋
	void Rotate_left_right(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->-left;
		Node* subLR = subL->_right;
		//记录插入之后的平衡因子
		int bf = subLR->_bf;

		//先左旋
		Rotate_left(subL);
		//再右旋
		Rotate_right(parent);

		//修改平衡因子
		if (bf == 0)   //本身就是新插入的节点
		{
			subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)  //左边插入
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)  //右边插入
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(flase);
		}
	}
4. 先右单旋再左单旋（双旋）

同样的这里也存在三种情况：

①插入在subRL的左边

②插入在subRL的右边

③subRL就是新插入的节点

右左双旋的逻辑和左右双旋的逻辑一样，可以参考上面的。
//右左双旋
	void Rotate_right_left(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		Rotate_right(subR);
		Rotate_left(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
			assert(false);
	}

解决完插入中的旋转问题之后我们将旋转融入到插入的整个代码中：

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			retrun true;
		}
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->rigth;
			}
			else
				retrun false;
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//2. 调整节点的平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)    //插入的节点在左边时，平衡因子--
				parent->_bf--;
			else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)        //判断平衡因子时候合理
				break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入新的节点导致高度变化，
															 //所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//平衡出现差错，需要进行旋转调整
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)         //左单旋情况
					Rotate_left(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)  //右单旋情况
					Rotate_right(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)   //左右双旋情况
					Rotate_left_right(parent);
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)   //右左双旋情况
					Rotate_right_left(parent);
				// 1、旋转让这颗子树平衡了
				// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新
				break;
			}
			else   //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了
				assert(false);
		}
		return true;
	}

4. AVL树的验证?

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确
?

//判断是否平衡
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	//计算树的高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);   //左子树的高度
		int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度
		//返回左右子树高度较高的那一颗树+1
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int leftHeight = _Height(root->_left);   //左子树的高度
		int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		//右子树-左子树高度不超过2则为AVL树
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

4.1 AVL树的性能?

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $O(\log N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

朋友们、伙计们，美好的时光总是短暂的，我们本期的的分享就到此结束，欲知后事如何，请听下回分解~，最后看完别忘了留下你们弥足珍贵的三连喔，感谢大家的支持！??

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