应用于股市的凯利公式讲解、推导与Python实现

1. 凯利公式是什么？

在我们进行投资或任意性质的赌Bo时，假设我们可以预估出胜率、赢时的利润率、输时的亏损率，那我们应该拿出多少本金进行投资呢？这就是凯利公式要回答的问题。

注意上面的话，凯利公式有个前提，就是胜率、赢时的利润率、输时的亏损率 要已知，你可以通过其他技术手段或者经验来进行预估。

用数学公式表示则为：

$$f(p,W,L)=\frac{p?W?(1?p)?L}{W?L}$$

其中：

• p ：获胜的概率，取值范围为 $[0,1]$
• W：获胜时的利润率。取值范围为 $[0,+\infty ]$。① 假设我们投注1块钱，赢得话1块变2块，此时我们的利润率是100%，而不是200%。② 若在股市中，假设我们投资100块，预计涨幅30%（或者说在涨30%时止盈），赢后100变130，那么利润率就是30%，即0.3。
• L：失败时的亏损率。取值范围为 $[0,1]$。① 假设我们投注1块，输的话变为0。则亏损率就是100%。② 股市中，假设我们投资100块，预计下跌10%（或下跌10%时止损），之后100变90，那亏损率就是10%
• f(p, W, L)：该函数的值则为投注的比例。范围是$[0,+\infty ]$。这里之所以不是$[0,1]$，是因为当$W$很大，而$L$很小时，凯利公式会让你上杠杆。

这里每次投注的比例，是以现在的钱为基准。假设第一次手里有100，投注比例是20%，赢了之后变120了。那么下次的20%就是 120 * 20% = 24元

2. 凯利公式举例

我们举几个实际例子来感受一下：

• 场景一：掷骰子，胜率50%（p=0.5），赢翻倍（W=1），输清0（L=1），则投注比例应为：$f=0$。即不应该投注，这游戏没有任何意义。
• 场景二：投不均匀的骰子，胜率60%（p=0.6），赢翻倍（W=1），输清0（L=1），则投注比例应为：$f=0.2$ 。这次就有的玩了，一次投注20%的钱，假设我有100，就投注20元。
• 场景三：投不均匀的骰子，胜率40%（p=0.4），赢翻倍（W=1），输清0（L=1），则投注比例应为：$f=?0.2$ 。即不应该投注。
• 场景四：假设你根据历史经验判断一只股票后续上涨概率很大，你决定买入后在上涨30%时止盈（W=0.3），若亏损大于10%（L=0.1）你就会选择止损。结合你的止盈点、止损点和该股票历史表现等因素，你判断这次操作的胜率为70%（p=0.7），则投注比例应为：$f=6$。即加5倍杠杆，假设你有1万元，那么再借5万，凑够6万买入。就算你输了，也只输 $6?0.1=0.6$ 万，还了5万还能剩4千呢。注意：这只是公式给出的结果，可别真去借钱上杠杆。毕竟你自己的估算的概率不准，再加上要是跌停了，你想止损也卖不出去。
• 场景五：同场景四，上涨30%止盈（W=0.3），亏损20%止损（L=0.2），胜率为40%（p=0.4），则 $f=0$，不应该入场。
• 场景六：同场景四，上涨30%止盈（W=0.3），亏损10%止损（L=0.1），胜率为40%（p=0.4），则 $f=2$，2倍杠杆入场。注意：这里看似场景五和六只是调整了一下止损点，但实则不是。因为若五和六是完全相同的场景，那么你降低了你的止损点，那么你的胜率也应该相应降低。
• 场景六：同场景四，上涨30%止盈（W=0.3），亏损10%止损（L=0.1），胜率为30%（p=0.3），则$f=0.66$，即投注本金的66%。

3. 凯利公式的Python实现

python公式很简单，就是按照上面公式写一下即可

def kelly_buy_ratio_strategy(
        p: float,  # 获胜概率
        W: float,  # 获胜时的盈利，或止盈点。例如：当上涨时预计盈利为20%，则rW=0.2
        L: float,  # 失败时的亏损，或止损点。例如：当下跌10%时止损，则rL=0.1
):
    """
    根据“凯利公式”决定买入的仓位比例
    """

    buy_ratio = (p * W - (1 - p) * L) / (W * L)

    if buy_ratio < 0:
        buy_ratio = 0

    return buy_ratio

4. 凯利公式数学推导

该节讲解凯利公式的推导，不感兴趣可以不看。

假设有一种赌Bo游戏，胜率固定为 $p$，盈利率固定为 $W$，亏损率固定为 $L$。（注意这里 $p,W,L$ 都是常量）

假设我们进行 $N$ 次游戏，那么将会有 $N?p$ 次获胜，$N?(1?p)$ 次失败。

我们用 $A_n$ 来表示第$n$次的本金，假设我们每次投注的比例为 $x$，则第$A_{n+1}$ 次的金额则为：

$$A_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{A}_n(1+xW)& \text{if?win}\\ A_n(1?xL)& \text{if?lose}\end{array}$$

我们的初始本金为 $A_0$，进行 $N$ 次游戏，我们的本金变化可能如下：

$$\begin{array}{rl}{A}_1& =A_0(1+xW)win\\ A_2& =A_1(1?xL)lose\\ A_3& =A_2(1+xW)win\\ ?& \\ A_{n?1}& =A_{n?2}(1?xL)lose\\ A_n& =A_{n?1}(1+xW)win\end{array}$$

上述式子中，每次win和lose都是随机的，但一共有 $N?p$ 次胜 和 $N?(1?p)$ 次败。

我们现在消除$A_1,A_2,\dots ,A_{n?1}$，则式子变为：

$$\begin{array}{rl}{A}_n& =A_0(1+xW)(1?xL)(1+xW)?(1?xL)(1+xW)\\ & \\ & =A_0(1+xW{)}^{Np}(1?xL{)}^{N(1?p)}\end{array}$$

上述式子中，$A_0,W,L,N,p$都是常量，只有投注比例 $x$ 是变量，因此当自变量 $x$ 变化时，最终的金额 $A_n$ 也会变。所以我们的目的就是求一个 $x$，使得 $A_n$ 最大。

因此，我们重新表示一下这个式子：

$$A_n(x)=A_0(1+xW{)}^{Np}(1?xL{)}^{N(1?p)}$$

接下来让$A_0$除过去，式子变为：

$$A^{\prime }(x)=\frac{A_n}{A_0}=(1+xW{)}^{Np}(1?xL{)}^{N(1?p)}$$

此时我们发现，求$A_n(x)$ 最大 和 求 $A^{\prime }(x)$ 最大是等价的。因此，我们就可以消除$A_0$了。之后我们再对两边开$N$次方根，式子变为：

$$A^{\prime \prime }(x)=A^{\prime }(x{)}^{\frac{1}{n}}=[(1+xW{)}^{Np}(1?xL{)}^{N(1?p)}{]}^{\frac{1}{n}}=(1+xW{)}^p(1?xL{)}^{(1?p)}$$

我们同样发现，求$A^{\prime }(x)$ 最大 和 求 $A^{\prime \prime }(x)$ 最大也是等价的。因此，这次我们就消除了 $N$ 。为了让式子更简单，我们两边再取对数，式子变为：

$$A^{\prime \prime \prime }(x)=\ln A^{\prime \prime }(x)=p\ln (1+xW)+(1?p)\ln (1?xL)$$

同样，求$A^{\prime \prime }(x)$ 最大 和 求 $A^{\prime \prime \prime }(x)$ 最大也是等价的。最终，我们将一开始的式子就化简为了对下式求最大值：

$$A^{\prime \prime \prime }(x)=p\ln (1+xW)+(1?p)\ln (1?xL)$$

求最大值嘛，让导数等于0即可。即：

$$\frac{d{A}^{\prime \prime \prime }(x)}{dx}=p\frac{W}{1+xW}+(1?p)\frac{?L}{1?xL}=0$$

到这里就简单多了，我们将$x$解出来，最终得：

$$x=\frac{p?W?(1?p)?L}{W?L}$$

即，当胜率为 $p$，胜利时收益率为$W$，失败时亏损率为$L$时，最佳的投注比例 $x=\frac{p?W?(1?p)?L}{W?L}$

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参考资料

凯利公式，以及一个横扫股圈的男人 : https://www.bilibili.com/video/BV1sz4y1w7Hj/

凯利公式是啥？(李永乐): https://www.bilibili.com/video/BV1Qt41197GY/