浮点数表示法以及相关“小”知识点

浮点数的表示形式

小数点的位置是浮动的。

任意一个二进制数N可 以表示成：N＝S×r^j

其中，S为尾数(可正可负)，r为基数(数值)，j是阶码(可正可负)。

1、对一个真值为+23.25的十进制数，用浮点数格式表示其原码。?

解：(23.25)10 ＝(10111.01)2

????????浮点数表示其原码为： 0.1011101×2^101

????????机器中表示为：

2、十进制数-79.25，用浮点数格式表示其原码、反码和补码。

解：(-79.25)10 ＝(-1001111.01)2

浮点数表示其原码为：1.100111101×2^+111

浮点数表示其反码为：1.011000010×2^+111

浮点数表示其补码为：1.011000011×2^+111

?规格化浮点数

若不对浮点数的表示做出明确规定，同一个浮点数的表示就具有不唯一性。

为了提高运算的精度，需要充分地利用尾数的有效 数位，通常采取浮点数规格化形式，即规定尾数的最高数位必须是一个有效值。

以基数为2说明规格化的格式

尾数M是原码表示，尾数的最高位为1是规格化形式， 即必须满足0.5≤|M|<1。

正数：尾数应为0.1x…x

负数：尾数应为1.1x…x

尾数M是补码表示，尾数的最高位与数符符号位相反为规格化形式。

正数：尾数应为0.1x…x，即0.5≤M<1

负数：尾数应为1.0x…x，即-1≤M<-0.5

当尾数不是规格化数时，就要通过修改阶码并同时左右移动尾数使其变为规格化数，这一过程称为规格化。

• 当基数为2时，尾数左移一位，阶码减1，称为 向左规格化(左归)。
• 当基数为2时，尾数右移一位，阶码加1，称为 向右规格化(右归)。

移位后补0还是1？

1、把非规格化的浮点数N＝0.0110×2^11规格化。

解：浮点数N的尾数向左移一位（或尾数的小数点 右移一位），变成0.1100。

???????阶码递减1，得到N＝0.1100×2^10

2、把浮点数-37.125进行规格化表示。

解：(-37.125)10=(-100101.001)2

????????规格化表示：1.100101001×2^110?

3、把二进制浮点数0.000110101进行规格化表示。

解：(0.000110101)2=(0.110101)2×2^-11

????????规格化表示：0.110101×2^-11

4、把二进制浮点数-10011111进行规格化表示。

解：(-10011111)2=(1.10011111)2×2^1000

????????规格化表示：1.10011111×2^1000?

IEEE754标准浮点数

• 数符表示浮点数的正负，与尾数是分开的。
• 阶码用移码来表示，一般情况下，阶码是在指数 上加一个常数，分别为7FH和3FFH。
• 尾数通常用原码的规格化表示，最高位总为1， 这一位通常不予存储。?

32位的IEEE754标准定义格式

注：1 8 23 +7F?

64位的IEEE754标准定义格式?

1 11 52 +3FF?

后续以32位单精度浮点数为例，其偏移值为127，尾数有一位隐藏位，一个规格化的32位浮点数X的值可表示为： X=(-1)^S×(1.M)×2^E-127?

1、十进制数178.125转换为二进制数，按照754的 标准进行规格化表示，总位数32位。

解：178.125=(10110010.001)2 =1.0110010001×2^111

????????数符：0

????????阶码：0000 0111+0111 1111=1000 0110

????????尾数：1. 011 0010 0010 0000 0000 0000（第一位隐藏不存储）

????????结果:? ?0; 10000110; 01100100010000000000000

2、十进制数100.25转换为二进制数，按照754的标 准进行规格化表示，总位数32位。

解：100.25=(1100100.01)2 =1.10010001×2^110

????????数符：0

????????阶码：0000 0110+0111 1111=1000 0101

????????尾数：1. 100 1000 1000 0000 0000 0000（第一位隐藏不存储）

????????结果:? ?0; 10000101; 10010001000000000000000

3、十进制数-1.5转换为二进制数，按照754的标准 进行规格化表示，总位数32位。(2018年西电考研)

解：-1.5= (-1.1)2 = -1.1×2^0

????????数符：1

????????阶码：0000 0000+0111 1111=0111 1111

????????尾数：1. 100 0000 0000 0000 0000 0000（第一位隐藏不存储）

????????结果:? ?1; 01111111; 100 0000 0000 0000 0000 0000

4、利用754表示的32位浮点数C1C90000H转换成为十进制数。

解：由题意可得，步骤如下：

1. 十六进制展开二进制，分离出符号位、阶码和尾数
   C1C90000H= 1; 100 0001 1; 100 1001 0000 0000 0000 000
2. 计算出阶码真值（移码－偏置值） 10000011-01111111=100
3. 以规格化二进制数形式写出此数 -1.1001001×2^100
4. 写成非规格化二进制数形式 -11001.001
5. 转换成十进制数，并加上符号位 (-11001.001)2=(-25.125)10