【数据结构和算法】递增的三元子序列
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前言
这是力扣的334题,难度为中等,解题方案有很多种,本文讲解我认为最奇妙的两种。
一、题目描述
给你一个整数数组?nums
?,判断这个数组中是否存在长度为?3
?的递增子序列。
如果存在这样的三元组下标?(i, j, k)
?且满足?i < j < k
?,使得?nums[i] < nums[j] < nums[k]
?,返回?true
?;否则,返回?false
?。
示例 1:
输入:nums = [1,2,3,4,5] 输出:true 解释:任何 i < j < k 的三元组都满足题意
示例 2:
输入:nums = [5,4,3,2,1] 输出:false 解释:不存在满足题意的三元组
示例 3:
输入:nums = [2,1,5,0,4,6] 输出:true 解释:三元组 (3, 4, 5) 满足题意,因为 nums[3] == 0 < nums[4] == 4 < nums[5] == 6
提示:
1 <= nums.length <= 5 * 105
-231 <= nums[i] <= 231 - 1
进阶:你能实现时间复杂度为?O(n)
?,空间复杂度为?O(1)
?的解决方案吗?
二、题解
题目要我们判断是否存在长度为 3 的上升子序列,问题可以转换为求 nums 的最长上升子序列的长度。
如果 nums 的最长上升子序列长度大于等于 3,那么原问题答案为 True,否则为 False。
2.1 方法一:贪心 + 二分
思路与算法:
简单来说,就是在遍历每个数 nums[i] 的同时,维护一个具有单调性的 f[ ]?数组,其中 f[len]=x 代表长度为 len 的最长上升子序列最小结尾元素为 x,可以证明 f?数组具有单调性,因此每次可以通过二分找到小于 nums[i] 的最大下标,来作为 nums[i]?的前一个数。
综上,我们求得最长上升子序列的最大长度,然后和 3 比较即可得出答案。
2.2 方法二:贪心(优化)
方法二达到了进阶的要求!
思路与算法:
我们可以对 f 数组进行优化:使用有限变量进行替换(将 f?数组的长度压缩为 2),数组含义不变,f[1]=x 代表长度为 1 的上升子序列最小结尾元素为 x,f[2]=y 代表长度为 2 的上升子序列的最小结尾元素为 y。
从前往后扫描每个 nums[i],每次将 nums[i] 分别与 f[1]] 和 f[2] 进行比较,如果能够满足 nums[i]>f[2],代表 nums[i] 能够接在长度为 2 的上升子序列的后面,直接返回 True,否则尝试使用 nums[i] 来更新 f[1] 和 f[2]。
这样,我们只使用了有限变量,每次处理 nums[i] 只需要和有限变量进行比较。
三、代码
3.1 方法一:贪心 + 二分
Java版本:
class Solution {
public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
int n = nums.length, ans = 1;
int[] f = new int[n + 1];
Arrays.fill(f, Integer.MAX_VALUE);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = nums[i];
int l = 1, r = i + 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (f[mid] >= t) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
f[r] = t;
ans = Math.max(ans, r);
}
return ans >= 3;
}
}
C++版本:
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
class Solution {
public:
bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
int n = nums.size(), ans = 1;
vector<int> f(n + 1, INT_MAX);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = nums[i];
int l = 1, r = i + 1;
while (l < r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (f[mid] >= t) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
f[r] = t;
ans = max(ans, r);
}
return ans >= 3;
}
};
Python版本:
def increasingTriplet(nums):
n = len(nums)
ans = 1
f = [float('inf')] * (n + 1)
for i in range(n):
t = nums[i]
l, r = 1, i + 1
while l < r:
mid = (l + r) // 2
if f[mid] >= t:
r = mid
else:
l = mid + 1
f[r] = t
ans = max(ans, r)
return ans >= 3
3.2 方法二:贪心(优化)
Java版本:
class Solution {
public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
int n = nums.length;
long[] f = new long[3];
f[1] = f[2] = Integer.MAX_VALUE;
for (int t : nums) {
if (f[2] < t) {
return true;
} else if (f[1] < t && t < f[2]) {
f[2] = t;
} else if (f[1] > t) {
f[1] = t;
}
}
return false;
}
}
C++版本:
class Solution {
public:
bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
long long f[3] = {INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX};
for (int t : nums) {
if (f[2] < t) {
return true;
} else if (f[1] < t && t < f[2]) {
f[2] = t;
} else if (f[1] > t) {
f[1] = t;
}
}
return false;
}
};
Python版本:
class Solution:
def increasingTriplet(self, nums: List[int]) -> bool:
n = len(nums)
f = [float('inf'), float('inf'), float('inf')]
for t in nums:
if f[2] < t:
return True
elif f[1] < t < f[2]:
f[2] = t
elif f[1] > t:
f[1] = t
return False
四、复杂度分析
4.1 方法一:贪心 + 二分
- 时间复杂度:O(nlog?n)
- 空间复杂度:O(n)
4.2 方法二:贪心(优化)
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1)
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