数模学习day01-层次分析法模型

2023-12-27 15:15:36

????????已经一个多月没有更新过文章了，为了保住那绩点的意思微弱的优势，直接开摆，开始复习专业课和公共课考试了，结果虽然有遗憾但是还是算不错，至少没有掉到3.xx嘿嘿。

????????然后现在就要开始学习数学建模和算法同步了。接下来的文章也会更新这两个方面的内容。好了进入正题吧。

? ? ? ? 本文章根据B站UP：数学建模学习交流的正版视频编写

第一讲：层次分析法

????????这是建模比赛最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好。哪位运动员或者员工的表现更优秀等）

问题一：

评价类问题可以使用打分解决

最终通过整理得到如下的权重表格

最终计算完成之后得到的得分是：华科：0.515、武大：0.485

华科的分数更高

?总结

问题二：

层次分析法例题

一般有三个问题：

????????1.我们的评价目标是什么

? ? ? ? 2.达成这个目标有哪几种方案

? ? ? ? 3.评价的标准是什么

一般来说，评价指标题目中是不会告诉我们的，实质就是根据什么东西评判，比如显卡的显存，CPU的主频等。

那么如何回答这三个问题呢？

上网查询

可以选择：知网、万方、百度学术、谷歌学术等搜索相关的文献

找不到就直接和队友叫唤哈哈哈

然后这里搜索有一个很强的网站叫做==>>虫部落: https://search.chongbuluo.com/

然后回到我们的题目

现在已经确定了指标：

然后就可以想到下面的这张表格，也就是之前的权重表格

????????在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

? ? ? ? 也就是说，直接思考权重可能会导致分析错误。那么如何避免这个问题呢？

分治思想：两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重 。

那么层次分析法的思想就显现出来了：

通过将这个重要程度生成为一张矩阵表格可以得到。

但是小明在这里不是真正的小明，而是一个“专家”。后文会提到

那么再填完这个表格之后就可以得到如下判断矩阵（也可以称为正互反矩阵）

计算权重

题目：

通过询问“专家”的方式，获得一个个的判断矩阵

剩余矩阵如下

不一致问题?

在填写之后，可能会出现一种问题

也就是前后大小值比较不一致，发生冲突的问题。

a_{ij}=\frac{i}{j}

a_{jk}=\frac{j}{k}

通过这两个公司可以得出如下的公式

a_{ik}=\frac{i}{k}=a_{ij}\cdot a_{ij}

然后可以先来观察一致矩阵的特点

通过观察发现：各行（各列）之间成倍数关系

那么可以得出一致性矩阵的定义如下：

上两幅图的差别就是一个4，一个是5，我们如何知道这个修改的差距大不大呢，那么就可以通过一致性检验判断了。

一致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别

这里tr是矩阵的迹

对应的特征向量也就是k的第一列。

一致性检验的标准步骤

最后判断CR<0.1，则认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则进行修正

即：

?

一致矩阵计算权重

计算方法如下：

当然也可以使用第二列或者第三列算，由于每一列都是成比例的，所以权重是一样的

矩阵计算权重：算数平均法

和一致矩阵的方法是一样的，但是！！由于判断矩阵各列之间不一定成比例，所以每一列都需要分别计算权重，然后再求权重的平均值

其数学描述为：

可以体现在论文之中

矩阵计算权重：几何平均法

判断矩阵计算权重：特征值法

使用性质：一致矩阵有一个特征值为n，其他特征值都为0

特征向量刚好是矩阵的第一列

在计算完权重之后填入权重表，最多使用的还是特征值法，一般只将特征值法的权重填入

这里计算如果使用计数器来说也可以，但是比较麻烦，我们可以使用Excel表格来处理

这里要记得锁定单元格

按F4即可

问题三：

层次分析法第一步：

1.层次结构图

此图及其的重要

如果使用了层次分析法，那么这个层次结构图需要放在论文之中

层次图生成方法：SmartArt（PPT）

在PPT中，开始中，选中文本之后，有一个提高列表等级

然后再全选文本，有一个转换为SmartArt

然后选择层次结构图

层次图生成方法：亿图图示

2.构造判断矩阵

这里判断矩阵由于找不到专家，也就不需要说明数据的出处了。

但是填写仍然需要有依据

准则层一方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据可以考虑利用这此数据进行计算。
例如: 有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而目你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵

最好是不要瞎填，搜索一下网络的资料

3. 计算权重且通过一致性检验

（1）算术平均法

（2）几何平均法

（3）特征值法

建议是三种方法都是用

然后加上下面这段话

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

然后是进行一致性检验

若CR>0.1如何修正

根据倍数关系，往一致性矩阵上面调整

4.计算合成权重且排序

层次分析法的局限性

（1）评价的决策层不能过多，过多导致n过大，导致判断矩阵和一致矩阵差异变大

（2）如果决策层中的指标数据是已知的，那么我们如何操作？后续文章解答

模型拓展

准则层可以有多个

结语

直接结束，这篇文章写到凌晨了，累了

ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~

文章来源:https://blog.csdn.net/DDDDWJDDDD/article/details/135231749
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