算法训练营Day35

#Java #动态规划

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Feeling and experiences：

不同路径：力扣题目链接

一个机器人位于一个 m x n?网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

该题我们直接分析：到达Finish之前，我们的位置可以在哪里？

达到Finish之前，我们位置可以在它上面，也可以在它左边。

所以，到达Finish的路径 就等于，到达Finish上面的路径数加到达Finish左边的路径数。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
    //题目规定机器人每次只能向下或者向右移动一步
    //所以，要到到达finish，要么从上面往下走一格，要么从左往右走一格

    //创建dp数组
    int [][]dp = new int[m][n];
    
    //初始化 (把一行一列初始化为1)
    for(int i =0;i<m;i++){
        dp[i][0] = 1;
    }

    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[0][i] = 1;
    }
    //递推公式
  //  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

    //循环，递推
    for(int i =1;i<m;i++){
        for(int j =1;j<n;j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1]; 
    }
}

代码很直观，主要注意的就是对dp数组的初始化。

我们把第一行和第一列都初始化为 1 ；

整体思路：

1.创建一个二维dp数组，其含义：到达 i 行 j 列，有dp[i][j]条路径；

2.根据递推，到达 i 行 j 列的路径数也等于 到达i-1行 j 列的路径书 加上 达到i行 j-1列的路径数目；

3.初始化第一行和第一列，因为这种情况下，它们都只有一种路径数；

不同路径 II：力扣题目链接

一个机器人位于一个?m x n?网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

?该题，多了障碍物

因为题目说的很明白，在题目给的二维数组obstacleGrid中，1 代表障碍物，0代表空位置。

那么显然，这道题的关键还是初始化和递推，我们首先更改初始化；

因为递推也是根据第一行与第一列来的，初始化位置也可能出现有障碍物；

?for(int i = 0;i<hang && obstacleGrid[i][0] == 0;i++){

? ? ? ? dp[i][0] = 1;

? ? }

? ? for(int i = 0;i<lie && obstacleGrid[0][i] == 0;i++){

? ? ? ? dp[0][i] = 1;

? ? }

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
    int hang = obstacleGrid.length;
    int lie = obstacleGrid[0].length;
    //创建dp数组
    int [][]dp = new int[hang][lie];

    //初始化：
    //障碍物在出发点，或者在终点的情况，则直接返回0
    if(obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[hang-1][lie-1] == 1){
        return 0;
    }
    //初始化第一行，第一列
    for(int i = 0;i<hang && obstacleGrid[i][0] == 0;i++){
        dp[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 0;i<lie && obstacleGrid[0][i] == 0;i++){
        dp[0][i] = 1;
    }
    //循环，递推
    for(int i =1;i<hang;i++){
        for(int j=1;j<lie;j++){
             dp[i][j] = (obstacleGrid[i][j] == 0) ? dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] : 0;
        }
    }
    return dp[hang-1][lie-1];
    }
}

主要修改的就是初始化dp数组，递推公式原理都是一样的；

整数拆分：力扣题目链接

给定一个正整数?n?，将其拆分为 k 个 正整数 的和（?k >= 2?），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积?。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

该题的递推公式不好想

结合力扣官解和代码随想录：

将 i 拆分成 j 和 i-j 的和，i 和 j不再拆成多个正整数，则乘积为：i *（i-j）；

将 i 拆分成 j 和 i-j的和，但是i-j 还要再拆分，则乘积为：i*dp[i-j]；

由此我们可以得到递推公式：

dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));

代码如下：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
    //创建dp数组,其含义为：正整数为 i ，得到的乘积最大化为dp[i];
    int []dp = new int [n+1];
    //初始化
    dp[2] = 1;
    
    //递推公式：
   // dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
    
    //循环，递推
    for(int i =3;i<=n;i++){
        for(int j =1;j<=i-j;j++){
            dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
        }
    }
    return dp[n];
}
}

主要就是递推公式！

不同的二叉搜索树：力扣题目链接

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

第一眼结合本章提醒，猜出来要找规律

参考代码随想录：

dp 数组含义，dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

综上可得递推公式：

 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];

?

代码如下：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
    //创建dp数组
    int []dp = new int[n+1];
    //初始化dp数组
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;

    //递推公式：
     //dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; 

     for(int i = 2;i<=n;i++){
         for(int j =1;j<=i;j++){
              dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
         }
     }
     return dp[n];
    }
}

画图找出规律就很好解了~

功名半纸，

风雪千山......

Fighting！

?