线性代数 --- 为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

2024-01-09 06:18:12

为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

笔者的一些话:

????????为什么LU分解中L矩阵的主对角线上都是1?因为最近一段时间在研究LU分解的编程实现,这个问题也就时不时的从我脑子里面冒出来。但大多时候都是一闪而过,没有太在意。有时候,查了一些资料后,明白了,或者是当时明白了,又或者是似乎明白了,没过多久又忘了。索性趁着这两天有空,干脆写一篇CSDN记录下来,自己以后要看了,就回来翻翻。

正文:

????????一方面:对于LU分解而言,下三角阵L是对高斯消元过程的记录,是高斯消元的逆过程,是多个消元矩阵E的逆矩阵E^{-1}的乘积(形如下图中的下三角矩阵),即:

L={E_{1}}^{-1}*{E_{2}}^{-1}*{E_{3}}^{-1}*{E_{4}}^{-1}....

? ? ? ? 另一方面:根据矩阵的乘法原则,两个矩阵A和B的乘积C中的元素C_{ij},来自于矩阵A中第i行元素与矩阵B中第j列元素的乘积。下图,是我引用的维基百科中一个4x2矩阵A和一个2x4矩阵B的乘法的说明图。

如图,在本例中矩阵C中的元素C_{12}源自于矩阵A第一行和矩阵B第二列的乘积。?

? ? ? ? 按照这个乘法规则,去计算一系列消元矩阵的逆矩阵E^{-1}(方阵)的乘法就会发现。在计算L矩阵中主对角线上元素时,其他部分的乘积都是0,最终只剩下主对角线上对应位置的乘积为1。

比如说,下面是两个4x4的E^{-1}矩阵的乘法(X和Y可以是任意值):

\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ X& 1 & 0 & 0\\ X& X & 1&0 \\ X& X & X&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ Y& 1 & 0 & 0\\ Y& Y & 1&0 \\ Y& Y & Y&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{bmatrix}

????????不论这两个矩阵中的X和Y是多少,主对角线上的元素一定是1。我们以L_{22}的计算为例(其他也相仿),他等于前一个矩阵的第2行,乘以后一个矩阵的第2列:

L_{22}=X*0+1*1+0*Y+0*Y=0+1+0+0=1

????????

????????依此类推,则不论有多少个?E^{-1}连续相乘,一定能保证在最终的乘积L矩阵中,主对角线上的元素都是1。


(全文完)

作者 --- 松下J27?

?参考文献(鸣谢):

1,https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

2,线性代数 --- LU分解(Gauss消元法的矩阵表示)_矩阵的lu分解-CSDN博客

(配图与本文无关)?

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