线性代数 --- 为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

2024-01-09 06:18:12

为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

笔者的一些话：

????????为什么LU分解中L矩阵的主对角线上都是1？因为最近一段时间在研究LU分解的编程实现，这个问题也就时不时的从我脑子里面冒出来。但大多时候都是一闪而过，没有太在意。有时候，查了一些资料后，明白了，或者是当时明白了，又或者是似乎明白了，没过多久又忘了。索性趁着这两天有空，干脆写一篇CSDN记录下来，自己以后要看了，就回来翻翻。

正文：

????????一方面：对于LU分解而言，下三角阵L是对高斯消元过程的记录，是高斯消元的逆过程，是多个消元矩阵E的逆矩阵E^{-1}的乘积(形如下图中的下三角矩阵)，即：

L={E_{1}}^{-1}*{E_{2}}^{-1}*{E_{3}}^{-1}*{E_{4}}^{-1}....

? ? ? ? 另一方面：根据矩阵的乘法原则，两个矩阵A和B的乘积C中的元素C_{ij}，来自于矩阵A中第i行元素与矩阵B中第j列元素的乘积。下图，是我引用的维基百科中一个4x2矩阵A和一个2x4矩阵B的乘法的说明图。

如图，在本例中矩阵C中的元素C_{12}源自于矩阵A第一行和矩阵B第二列的乘积。?

? ? ? ? 按照这个乘法规则，去计算一系列消元矩阵的逆矩阵E^{-1}(方阵)的乘法就会发现。在计算L矩阵中主对角线上元素时，其他部分的乘积都是0，最终只剩下主对角线上对应位置的乘积为1。

比如说，下面是两个4x4的E^{-1}矩阵的乘法(X和Y可以是任意值)：

\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ X& 1 & 0 & 0\\ X& X & 1&0 \\ X& X & X&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ Y& 1 & 0 & 0\\ Y& Y & 1&0 \\ Y& Y & Y&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{bmatrix}

????????不论这两个矩阵中的X和Y是多少，主对角线上的元素一定是1。我们以L_{22}的计算为例(其他也相仿)，他等于前一个矩阵的第2行，乘以后一个矩阵的第2列：

L_{22}=X*0+1*1+0*Y+0*Y=0+1+0+0=1

????????

????????依此类推，则不论有多少个?E^{-1}连续相乘，一定能保证在最终的乘积L矩阵中，主对角线上的元素都是1。

（全文完）

作者 --- 松下J27?

?参考文献(鸣谢)：

1，https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

2，线性代数 --- LU分解（Gauss消元法的矩阵表示）_矩阵的lu分解-CSDN博客

（配图与本文无关）?

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文章来源:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/135419038
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