[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-2(1) 质量刚体的在坐标系下运动

2024-01-09 14:31:26

本文仅供学习使用,总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结,从矢量的角度进行分析,方法比较传统,但更易理解,并且现有的看似抽象方法,两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考:
黎 旭,陈 强 洪,甄 文 强 等.惯 性 张 量 平 移 和 旋 转 复 合 变 换 的 一 般 形 式 及 其 应 用[J].工 程 数 学 学 报,2022,39(06):1005-1011.

食用方法
质量点的动量与角动量
刚体的动量与角动量——力与力矩的关系
惯性矩阵的表达与推导——在刚体运动过程中的作用
惯性矩阵在不同坐标系下的表达


2. 质量刚体的在坐标系下运动

2.1 质量点 Mass Partical 的状态

对于质量点而言,其自身在笛卡尔坐标系中的状态仅包括运动状态。由热力学所引起自身的温度变化状态,由此产生的体积变化状态,或者自身亮度的状态变化等,都认为不会对运动状态产生干扰,即将某一空间实体等效为质量点,此时的笛卡尔坐标系所表示的状态空间就是三维空间。

由此,将质量点运动状态的改变视为力对质量点的作用:
F ? P F = d p ? P F d t = d ( m V ? P F ) d t = d m d t ↗ 0 V ? P F + d V ? P F d t m = m a ? P F \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( m\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{dt}}_{\nearrow 0}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}+\frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}m=m\vec{a}_{\mathrm{P}}^{F} F PF?=dtdp ?PF??=dtd(mV PF?)?=dtdm?0?V PF?+dtdV PF??m=ma PF?
τ ? P F = d h ? P F d t = d ( m ? R ? P F × V ? P F ) d t = d ( R ? P F × V ? P F ) d t m = [ ( d R ? P F d t × V ? P F ) ↗ 0 + R ? P F × d V ? P F d t ] m = R ? P F × F ? P F = R ? P F × d p ? P F d t \begin{split} \vec{\tau}_{\mathrm{P}}^{F}&=\frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( m\cdot \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}m \\ &=\left[ \left( \frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right) _{\nearrow 0}+\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}} \right] m=\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}} \end{split} τ PF??=dtdh PF??=dtd(m?R PF?×V PF?)?=dtd(R PF?×V PF?)?m= ?(dtdR PF??×V PF?)0?+R PF?×dtdV PF?? ?m=R PF?×F PF?=R PF?×dtdp ?PF???

如果说动量是表述物体运动状态的量,那么角动量就是描述物体旋转状态的量;如果说力是改变物体运动状态的量,那么扭矩就是改变物体旋转状态的量。

认为质量点的质量不发生改变:

  • 质量点的动量Linear Momentum p ? P F \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F} p ?PF?——点 P P P 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的动量参数 p ? P F = m V ? P F \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}=m\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} p ?PF?=mV PF?
  • 质量点的角动量Angular Momentum h ? P / O F \vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} h P/OF?——点 P P P 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下,相对于点 O O O角动量参数(又可称为动量矩
    h ? P / O F = R ? O P F × p ? P F = R ? O P F × ( m V ? P F ) = m ? ( R ? P F ? R ? O F ) × V ? P F = h ? P F ? m ? R ? O F × V ? P F \vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \left( m\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right) =m\cdot \left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}_{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{h}_{\mathrm{P}}^{F}-m\cdot \vec{R}_{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} h P/OF?=R OPF?×p ?PF?=R OPF?×(mV PF?)=m?(R PF??R OF?)×V PF?=h PF??m?R OF?×V PF?

在这里插入图片描述
其中,动量的计算是依据固定坐标系进行描述的,而角动量通常与所选择的运动坐标系有关。令 O O O 为固定坐标系中任意一参考点,此时以点 O O O 计算点 P P P 的扭矩 τ ? P / O F \vec{\tau}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} τ P/OF?为:
τ ? P / O F = R ? O P F × F ? P F = R ? O P F × d p ? P F d t = d ( R ? O P F × p ? P F ) d t ? d ( R ? O P F ) d t × p ? P F = d ( R ? O P F × p ? P F ) d t ? d ( R ? P F ? R ? O F ) d t × p ? P F = d h ? P / O F d t + V ? O F × p ? P F \begin{split} \vec{\tau}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}&=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}-\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F} \\ &=\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}-\frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}_{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{dt}}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{dt}}+\vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F} \end{split} τ P/OF??=R OPF?×F PF?=R OPF?×dtdp ?PF??=dtd(R OPF?×p ?PF?)??dtd(R OPF?)?×p ?PF?=dtd(R OPF?×p ?PF?)??dtd(R PF??R OF?)?×p ?PF?=dtdh P/OF??+V OF?×p ?PF??

由上式可知,当 V ? O F ∥ V ? P F \vec{V}_{\mathrm{O}}^{F} \parallel \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} V OF?V PF?(特别是 O O O P P P为同一点)时,或 V ? O F = 0 \vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}=0 V OF?=0(相当于坐标系下一定点)时,有: τ ? P O = d h ? P O d t \vec{\tau}_{\mathrm{P}}^{O}=\frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}}^{O}}{\mathrm{dt}} τ PO?=dtdh PO??

此时,已知: R ? O P F × d ( m V ? P F ) d t = R ? O P F × F ? P F \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\left( m\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} R OPF?×dtd(mV PF?)?=R OPF?×F PF?,对 h ? P / O F \vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F} h P/OF?求导,则有:
d h ? P / O F d t = d R ? O P F d t × p ? P F + R ? O P F × d p ? P F d t = m ? d R ? O P F d t × V ? P F + m ? R ? O P F × d V ? P F d t = m ? d ( R ? P F ? R ? O F ) d t × V ? P F + m ? R ? O P F × d V ? P F d t = m ? d ( R ? P F ? R ? O F ) d t × V ? P F + R ? O P F × F ? P F \begin{split} \frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}}{\mathrm{d}t}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t}=m\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}+m\cdot \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t} \\ &=m\cdot \frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}_{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}+m\cdot \vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{d}t} \\ &=m\cdot \frac{\mathrm{d}\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}-\vec{R}_{\mathrm{O}}^{F} \right)}{\mathrm{d}t}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} \end{split} dtdh P/OF???=dtdR OPF??×p ?PF?+R OPF?×dtdp ?PF??=m?dtdR OPF??×V PF?+m?R OPF?×dtdV PF??=m?dtd(R PF??R OF?)?×V PF?+m?R OPF?×dtdV PF??=m?dtd(R PF??R OF?)?×V PF?+R OPF?×F PF??

可见,同上所述:当 V ? O F = 0 \vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}=0 V OF?=0时,即 d h ? P / O F d t = m ? ( V ? P F ? V ? O F ↗ 0 ) × V ? P F + R ? O P F × F ? P F = R ? O P F × F ? P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}=m\cdot \left( \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}-{\vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}}_{\nearrow 0} \right) \times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}+\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OF??=m?(V PF??V OF?0?)×V PF?+R OPF?×F PF?=R OPF?×F PF?;当 V ? O F ∥ V ? P F \vec{V}_{\mathrm{O}}^{F} \parallel \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} V OF?V PF?时,即 d h ? P / O F d t = ( m ? ( V ? P F ? V ? O F ) × V ? P F ) ↗ 0 + R ? O P F × F ? P F = R ? O P F × F ? P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\left( m\cdot \left( \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}-\vec{V}_{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} \right) _{\nearrow 0}+\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\vec{R}_{\mathrm{OP}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OF??=(m?(V PF??V OF?)×V PF?)0?+R OPF?×F PF?=R OPF?×F PF?

因此,对于质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对该定点的矩,即为质点的动量矩定理:
d h ? P / O F i x e d F d t = R ? O F i x e d P F × F ? P F \frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}_{\mathrm{Fixed}}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\vec{R}_{\mathrm{O}_{\mathrm{Fixed}}\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F} dtdh P/OFixed?F??=R OFixed?PF?×F PF?

例子1:球杆模型
在这里插入图片描述
V ? P F = r ˙ X ? r + r θ ˙ X ? θ a ? P F = ( r ¨ ? r θ ˙ 2 ) X ? r + ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ? θ \begin{split} \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}&=\dot{r}\vec{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\vec{X}_{\mathrm{\theta}} \\ \vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}&=\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \right) \vec{X}_{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}_{\mathrm{\theta}} \end{split} V PF?a PF??=r˙X r?+rθ˙X θ?=(r¨?rθ˙2)X r?+(2r˙θ˙)X θ??
h ? P F = R ? P F × p ? P F = r X ? r × ( r ˙ X ? r + r θ ˙ X ? θ ) ? m = m r 2 θ ˙ K ^ τ ? P F = d h ? P F d t = 2 m r ˙ θ ˙ K ^ = R ? P F × F ? P F = ( r X ? r ) × ( ( r ¨ ? r θ ˙ 2 ) X ? r + ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ? θ ) ? m = R ? P F × ( 2 r ˙ θ ˙ ) X ? θ ? m \begin{split} \vec{h}_{\mathrm{P}}^{F}&=\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{p}_{\mathrm{P}}^{F}=r\vec{X}_{\mathrm{r}}\times \left( \dot{r}\vec{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\vec{X}_{\mathrm{\theta}} \right) \cdot m=mr^2\dot{\theta}\hat{K} \\ \vec{\tau}_{\mathrm{P}}^{F}&=\frac{\mathrm{d}\vec{h}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=2m\dot{r}\dot{\theta}\hat{K}=\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}}^{F}=\left( r\vec{X}_{\mathrm{r}} \right) \times \left( \left( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \right) \vec{X}_{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}_{\mathrm{\theta}} \right) \cdot m \\ &=\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}\times \left( 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \vec{X}_{\mathrm{\theta}}\cdot m \end{split} h PF?τ PF??=R PF?×p ?PF?=rX r?×(r˙X r?+rθ˙X θ?)?m=mr2θ˙K^=dtdh PF??=2mr˙θ˙K^=R PF?×F PF?=(rX r?)×((r¨?rθ˙2)X r?+(2r˙θ˙)X θ?)?m=R PF?×(2r˙θ˙)X θ??m?
从受力分析的角度来看,小球仅受到了垂直于杆方向的支撑力作用,而在沿杆方向并没有力的作用,但根据小球的加速度方程(\ref{eq:ballrank1})可知,小球具有沿杆方向的运动。前者的描述是基于固定坐标系进行分析,而后者的描述是基于运动坐标系进行的分析,因此两者本质上没有矛盾关系。所谓的科氏加速度与向心力都是在运动坐标系下描述时,由于运动标架的不同,所产生的虚拟力,在实际的固定坐标系中也不参与功的作用。

2.2 运动刚体的状态

在这里插入图片描述
对于运动刚体 Σ M \varSigma _{\mathrm{M}} ΣM?而言,需要将其上任意一点 P i P_{\mathrm{i}} Pi?在固定坐标系 { F : ( I ^ , J ^ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{I},\hat{J},\hat{K} \right) \right\} {F:(I^,J^,K^)}下进行表述。而对于有质量的刚体而言,其最特殊的点就是其等效的质量中心,称为其为质心点 G G G C o M CoM CoM(center of mass)。

2.2.1 刚体的质心Center of Mass——点 G G G或点 C o M CoM CoM

m t o t a l ? R ? G F = ∑ m i ? R ? P i F m_{\mathrm{total}}\cdot \vec{R}_{\mathrm{G}}^{F}=\sum{m_{\mathrm{i}}\cdot \vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F}} mtotal??R GF?=mi??R Pi?F?
对于刚体Rigid Body而言,其可视为 N N N 个质量点的集合,并具有有限体积,且各质量点之间的距离为定值,即:
∥ r ? i ? r ? j ∥ = C i j ?? i , j ∈ { 1 , ? ? , N } \left\| \vec{r}_{\mathrm{i}}-\vec{r}_{\mathrm{j}} \right\| =C_{\mathrm{ij}}\,\, i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N \right\} r i??r j?=Cij?i,j{1,?,N}
其中, r ? i ∈ R 3 \vec{r}_{\mathrm{i}}\in \mathbb{R} ^3 r i?R3为位置参数, C i j ∈ R C_{\mathrm{ij}}\in \mathbb{R} Cij?R为距离参数。

刚体在现实中并不存在,只是一种近似,且有: ω F l e x ? ω R B = 0 \omega _{\mathrm{Flex}}\gg \omega _{\mathrm{RB}}=0 ωFlex??ωRB?=0。刚体的自然频率Nature Frequency为0,柔性体Flexible Body的自然频率远大于刚体的自然频率。

质量点在空间坐标系中只需要对位置Position进行表征Configurate,而刚体还需要对其姿态Pose进行描述

考虑质量点的动量与角动量方程,首先考虑运动刚体的角动量与动量方程:
{ P ? G F = m t o t a l V ? G F H ? Σ M / O F = ∑ i N R ? O P i F × P ? P i F = ∑ i N h ? P i / O F \begin{cases} \vec{P}_{\mathrm{G}}^{F}=m_{\mathrm{total}}\vec{V}_{\mathrm{G}}^{F}\\ \vec{H}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}=\sum_i^N{\vec{R}_{\mathrm{OP}_{\mathrm{i}}}^{F}\times \vec{P}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F}}=\sum_i^N{\vec{h}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}\\ \end{cases} {P GF?=mtotal?V GF?H ΣM?/OF?=iN?R OPi?F?×P Pi?F?=iN?h Pi?/OF??

2.2.2 刚体的动量矩定理 theorem of moment of momentum

对于运动刚体上一微元点 P i \mathrm{P}_{\mathrm{i}} Pi?进行力矩分析,则有:
H ? Σ M / O F = ∑ i N h ? P i / O F = ∫ h ? P i / O F = ∫ R ? O P i F × ( d m i ? d R ? P i F d t ) ? d H ? Σ M / O F d t = d ( ∫ R ? O P i F × ( d m i ? d R ? P i F d t ) ) d t = ∫ ( R ? O P i F × ( d m i ? a ? P i F ) ) + ∫ ( ( V ? P i F ? V ? O F ) × ( d m i ? V ? P i F ) ) = ∫ ( R ? O P i F × F ? P i F ) ? ∫ ( V ? O F × ( d m i ? V ? P i F ) ) = M ? Σ M / O F ? V ? O F × P ? Σ M F \begin{split} &\vec{H}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}=\sum_i^N{\vec{h}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}=\int{\vec{h}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^{F}}=\int{\vec{R}_{\mathrm{OP}_{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F}}{\mathrm{d}t} \right)} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}\vec{H}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}\left( \int{\vec{R}_{\mathrm{OP}_{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F}}{\mathrm{d}t} \right)} \right)}{\mathrm{d}t}=\int{\left( \vec{R}_{\mathrm{OP}_{\mathrm{i}}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{a}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)}+\int{\left( \left( \vec{V}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F}-\vec{V}_{\mathrm{O}}^{F} \right) \times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{V}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)} \\ &=\int{\left( \vec{R}_{\mathrm{OP}_{\mathrm{i}}}^{F}\times \vec{F}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F} \right)}-\int{\left( \vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}\times \left( \mathrm{d}m_i\cdot \vec{V}_{\mathrm{P}_{\mathrm{i}}}^{F} \right) \right)}=\vec{M}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^{F}-\vec{V}_{\mathrm{O}}^{F}\times \vec{P}_{\Sigma _{\mathrm{M}}}^{F} \end{split} ?dtdH ΣM?/OF???H ΣM?/OF?=iN?h Pi?/OF?=h Pi?/OF?=R OPi?F?×(dmi??dtdR Pi?F??)=dtd(R OPi?F?×(dmi??dtdR Pi?F??))?=(R OPi?F?×(dmi??a Pi?F?))+((V Pi?F??V OF?)×(dmi??V Pi?F?))=(R OPi?F?×F Pi?F?)?(V OF?×(dmi??V Pi?F?))=M ΣM?/OF??V OF?×P ΣM?F??

若参考点 O O O为固定坐标系下一固定点,则上式简化为:
d H ? Σ M / O F i x e d F d t = M ? Σ M / O F i x e d F \frac{\mathrm{d}\vec{H}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}_{\mathrm{Fixed}}}^{F}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_{\Sigma _{\mathrm{M}}/\mathrm{O}_{\mathrm{Fixed}}}^{F} dtdH ΣM?/OFixed?F??=M ΣM?/OFixed?F?

文章来源:https://blog.csdn.net/LiongLoure/article/details/135477461
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