[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-2(1) 质量刚体的在坐标系下运动

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
黎 旭,陈 强 洪,甄 文 强 等.惯 性 张 量 平 移 和 旋 转 复 合 变 换 的 一 般 形 式 及 其 应 用[J].工 程 数 学 学 报,2022,39(06):1005-1011.

食用方法
质量点的动量与角动量
刚体的动量与角动量——力与力矩的关系
惯性矩阵的表达与推导——在刚体运动过程中的作用
惯性矩阵在不同坐标系下的表达

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2. 质量刚体的在坐标系下运动

2.1 质量点 Mass Partical 的状态

对于质量点而言，其自身在笛卡尔坐标系中的状态仅包括运动状态。由热力学所引起自身的温度变化状态，由此产生的体积变化状态，或者自身亮度的状态变化等，都认为不会对运动状态产生干扰，即将某一空间实体等效为质量点，此时的笛卡尔坐标系所表示的状态空间就是三维空间。

由此，将质量点运动状态的改变视为力对质量点的作用：
$${\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F=\frac{\mathrm{d}{\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left(m{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{dt}}={\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{dt}}}_{\nearrow 0}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F+\frac{\mathrm{d}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}m=m{\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F$$
$$\begin{array}{rl}{\vec{\tau }}_{\mathrm{P}}^F& =\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left(m?{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{dt}}m\\ & =\left[{\left(\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}_{\nearrow 0}+{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}\right]m={\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}\end{array}$$

如果说动量是表述物体运动状态的量，那么角动量就是描述物体旋转状态的量；如果说力是改变物体运动状态的量，那么扭矩就是改变物体旋转状态的量。

认为质量点的质量不发生改变：

• 质量点的动量Linear Momentum：${\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F$——点 $P$ 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的动量参数 $${\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F=m{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F$$
• 质量点的角动量Angular Momentum：${\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F$——点 $P$ 在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下，相对于点 $O$ 的角动量参数（又可称为动量矩）
  ${\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \left(m{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)=m?\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F?{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\right)\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{h}}_{\mathrm{P}}^F?m?{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F$

其中，动量的计算是依据固定坐标系进行描述的，而角动量通常与所选择的运动坐标系有关。令 $O$ 为固定坐标系中任意一参考点，此时以点 $O$ 计算点 $P$ 的扭矩${\vec{\tau }}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F$为:
$$\begin{array}{rl}{\vec{\tau }}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F& ={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{dt}}?\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\right)}{\mathrm{dt}}\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F\\ & =\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{dt}}?\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F?{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\right)}{\mathrm{dt}}\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F=\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{dt}}+{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F\end{array}$$

由上式可知，当${\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\parallel {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F$（特别是$O$与$P$为同一点）时，或${\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F=0$（相当于坐标系下一定点）时，有：${\vec{\tau }}_{\mathrm{P}}^O=\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}}^O}{\mathrm{dt}}$

此时，已知：${\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \frac{\mathrm{d}\left(m{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}{\mathrm{d}t}={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F$，对${\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F$求导，则有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F}{\mathrm{d}t}\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F+{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{d}t}=m?\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F}{\mathrm{d}t}\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F+m?{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{d}t}\\ & =m?\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F?{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\right)}{\mathrm{d}t}\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F+m?{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times \frac{\mathrm{d}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{d}t}\\ & =m?\frac{\mathrm{d}\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F?{\vec{R}}_{\mathrm{O}}^F\right)}{\mathrm{d}t}\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F+{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F\end{array}$$

可见，同上所述：当${\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F=0$时，即$\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{d}t}=m?\left({\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F?{{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F}_{\nearrow 0}\right)\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F+{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F$；当${\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\parallel {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F$时，即$\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{d}t}={\left(m?\left({\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F?{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\right)\times {\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F\right)}_{\nearrow 0}+{\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F={\vec{R}}_{\mathrm{OP}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F$。

因此，对于质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对该定点的矩，即为质点的动量矩定理:
$$\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}/{\mathrm{O}}_{\mathrm{Fixed}}}^F}{\mathrm{d}t}={\vec{R}}_{{\mathrm{O}}_{\mathrm{Fixed}}\mathrm{P}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F$$

例子1：球杆模型

$$\begin{array}{rl}{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^F& =\dot{r}{\vec{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\vec{X}}_{\theta }\\ {\vec{a}}_{\mathrm{P}}^F& =\left(\ddot{r}?r{\dot{\theta }}^2\right){\vec{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\theta }\right){\vec{X}}_{\theta }\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\vec{h}}_{\mathrm{P}}^F& ={\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times {\vec{p}}_{\mathrm{P}}^F=r{\vec{X}}_{\mathrm{r}}\times \left(\dot{r}{\vec{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\vec{X}}_{\theta }\right)?m=m{r}^2\dot{\theta }\hat{K}\\ {\vec{\tau }}_{\mathrm{P}}^F& =\frac{\mathrm{d}{\vec{h}}_{\mathrm{P}}^F}{\mathrm{dt}}=2m\dot{r}\dot{\theta }\hat{K}={\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times {\vec{F}}_{\mathrm{P}}^F=\left(r{\vec{X}}_{\mathrm{r}}\right)\times \left(\left(\ddot{r}?r{\dot{\theta }}^2\right){\vec{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\theta }\right){\vec{X}}_{\theta }\right)?m\\ & ={\vec{R}}_{\mathrm{P}}^F\times \left(2\dot{r}\dot{\theta }\right){\vec{X}}_{\theta }?m\end{array}$$
从受力分析的角度来看，小球仅受到了垂直于杆方向的支撑力作用，而在沿杆方向并没有力的作用，但根据小球的加速度方程(\ref{eq:ballrank1})可知，小球具有沿杆方向的运动。前者的描述是基于固定坐标系进行分析，而后者的描述是基于运动坐标系进行的分析，因此两者本质上没有矛盾关系。所谓的科氏加速度与向心力都是在运动坐标系下描述时，由于运动标架的不同，所产生的虚拟力，在实际的固定坐标系中也不参与功的作用。

2.2 运动刚体的状态

对于运动刚体${\Sigma }_{\mathrm{M}}$而言，需要将其上任意一点$P_{\mathrm{i}}$在固定坐标系$\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$下进行表述。而对于有质量的刚体而言，其最特殊的点就是其等效的质量中心，称为其为质心点 $G$ 或 $CoM$(center of mass)。

2.2.1 刚体的质心Center of Mass——点$G$或点$CoM$

$$m_{\mathrm{total}}?{\vec{R}}_{\mathrm{G}}^F=\sum m_{\mathrm{i}}?{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F$$
对于刚体Rigid Body而言，其可视为 $N$ 个质量点的集合，并具有有限体积，且各质量点之间的距离为定值，即：
∥ r ? i ? r ? j ∥ = C i j ?? i , j ∈ { 1 , ? ? , N } \left\| \vec{r}_{\mathrm{i}}-\vec{r}_{\mathrm{j}} \right\| =C_{\mathrm{ij}}\,\, i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N \right\} ∥r i??r j?∥=Cij?i,j∈{1,?,N}
其中，${\vec{r}}_{\mathrm{i}}\in {\mathbb{R}}^3$为位置参数，$C_{\mathrm{ij}}\in \mathbb{R}$为距离参数。

刚体在现实中并不存在，只是一种近似，且有：${\omega }_{\mathrm{Flex}}?{\omega }_{\mathrm{RB}}=0$。刚体的自然频率Nature Frequency为0，柔性体Flexible Body的自然频率远大于刚体的自然频率。

质量点在空间坐标系中只需要对位置Position进行表征Configurate，而刚体还需要对其姿态Pose进行描述

考虑质量点的动量与角动量方程，首先考虑运动刚体的角动量与动量方程：
$$\{\begin{array}{l}{\vec{P}}_{\mathrm{G}}^F=m_{\mathrm{total}}{\vec{V}}_{\mathrm{G}}^F\\ {\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F={\sum }_i^N{\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{P}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F={\sum }_i^N{\vec{h}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^F\end{array}$$

2.2.2 刚体的动量矩定理 theorem of moment of momentum

对于运动刚体上一微元点${\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}$进行力矩分析，则有：
$$\begin{array}{rl}& {\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F=\sum _i^N{\vec{h}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^F=\int {\vec{h}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}/\mathrm{O}}^F=\int {\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left(\mathrm{d}{m}_i?\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F}{\mathrm{d}t}\right)\\ ?\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}\left(\int {\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left(\mathrm{d}{m}_i?\frac{\mathrm{d}{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F}{\mathrm{d}t}\right)\right)}{\mathrm{d}t}=\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times \left(\mathrm{d}{m}_i?{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\right)+\int \left(\left({\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F?{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\right)\times \left(\mathrm{d}{m}_i?{\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\right)\\ & =\int \left({\vec{R}}_{{\mathrm{OP}}_{\mathrm{i}}}^F\times {\vec{F}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)?\int \left({\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\times \left(\mathrm{d}{m}_i?{\vec{V}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F\right)\right)={\vec{M}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/\mathrm{O}}^F?{\vec{V}}_{\mathrm{O}}^F\times {\vec{P}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}$$

若参考点$O$为固定坐标系下一固定点，则上式简化为：
$$\frac{\mathrm{d}{\vec{H}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/{\mathrm{O}}_{\mathrm{Fixed}}}^F}{\mathrm{d}t}={\vec{M}}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}/{\mathrm{O}}_{\mathrm{Fixed}}}^F$$