MIT线性代数笔记-第33讲-复习三

33.复习三

1. 已知$\frac{d\vec{u}}{dt}=A\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}0& ?1& 0\\ 1& 0& ?1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\vec{u}$，求出$\vec{u}$的通解

   $Ans$：特征方程为$?{\lambda }^3?2\lambda =0$，解得：${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=\sqrt{2}i,{\lambda }_2=?\sqrt{2}i$

   ? ???特征向量分别为${\vec{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\vec{x}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}i\\ 1\end{array}\right],{\vec{x}}_3=\left[\begin{array}{c}?1\\ ?\sqrt{2}i\\ 1\end{array}\right]$

   ? ???所以通解为$\vec{u}=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+c_2{e}^{\sqrt{2}it}\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}i\\ 1\end{array}\right]+c_3{e}^{?\sqrt{2}it}\left[\begin{array}{c}?1\\ ?\sqrt{2}i\\ 1\end{array}\right]$

2. 反对称矩阵

   满足$?A=A^T$的矩阵为反对称矩阵

   • 反对称矩阵的特征值一定是$i$的若干倍（$0$倍也可以）

     证明： $暂时不会证明$

   • 反对称矩阵一定存在阶数个两两正交的特征向量

     证明： 因为$?A=A^T$，所以$A{A}^T=?A^2=A^{T}A$，所以反对称矩阵一定存在阶数个两两正交的特征向量

3. 有一个$3$阶矩阵，已知其特征值${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=c,{\lambda }_3=2$分别对应特征向量${\vec{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\vec{x}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\\ 0\end{array}\right],{\vec{x}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ?2\end{array}\right]$

   (1)该矩阵可否对角化

   (2)该矩阵是否可能为对称矩阵

   (3)该矩阵是否可能为正定矩阵

   (4)该矩阵是否可能为马尔可夫矩阵

   (5)该矩阵是否可能为一个投影矩阵的两倍

   $Ans$：(1)特征向量线性无关，所以该矩阵可对角化

   ? ???(2)特征向量正交且特征值均为实数，所以该矩阵可能为对称矩阵

   ? ???(3)有一个特征值为$0$，所以该矩阵不可能为正定矩阵

   ? ???(4)有一个特征值大于$1$，所以该矩阵不可能为马尔可夫矩阵

   ? ???(5)有一个特征值为$2=2?1$，所以该矩阵可能为一个投影矩阵的两倍

4. 已知矩阵$A$既是一个对称矩阵，又是一个正交矩阵

   (1)求$A$的特征值

   (2)$A$是否一定为正定矩阵

   (3)$A$的是否一定无重复特征值

   (4)证明$\frac{1}{2}(A+I)$是投影矩阵

   $Ans$：(1)因为$A$为正交矩阵，所以$A$的特征值为$1$或$?1$

   ? ???(2)否，若$A$含有特征值$?1$则不是

   ? ???(3)否，如果$A$的阶数大于等于$3$则其一定有重复特征值

   ? ???(4)$[\frac{1}{2}(A+I){]}^2=\frac{1}{4}(A^2+2A+I)=\frac{1}{4}(I+2A+I)=\frac{1}{2}(A+I)$，所以$\frac{1}{2}(A+I)$是投影矩阵

   ?????还可以通过$\frac{1}{2}(A+I)$的特征值只有$0$和$1$来证明

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