现性代数期末复习报告
《线性代数》
学习报告
目录
1 引言
本线性代数报告将对线性代数关键知识点进行总结，以及对感兴趣的知识点扩展，了解其在本专业的相关应用。
2 第一章关键知识点总结
2.1? 矩阵：
??? 矩阵的定义
??? 对角阵
??? 单位矩阵（单位阵）
??? 矩阵的相等
??? 矩阵的转置
??? 对称阵：n阶方阵A满足A=AT
? ? 反对称阵：n阶方阵A满足AT=-A
??? 分块矩阵：主要是为了方便运算。
??? 分块对角阵
??? 行阶梯形矩阵：任意一个m*n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵。
??? 行最简形矩阵：任意一个m*n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵。
??? 标准形：任意一个m*n矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为行最简形矩阵。
??? 逆矩阵：设A为n阶方阵，如果存在方阵B使得AB=BA=E,其中，E为n阶单位方阵，则称A可逆，其逆矩阵为B，否则，A不可逆。
? ? 初等矩阵：对n阶单位矩阵E实施一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。 性质：初等矩阵都是可逆的。
2.2? 矩阵的运算：
? ? 矩阵的加法梳成（线性运算）：满足交换律和结合律。
??? 矩阵的乘法：不满足交换律，满足结合律和分配律。
? ? ? ?（加减法的两个矩阵的行列需相同，乘法需左矩阵得列等于右矩阵的行）
??? 矩阵的转置：(AT)T=A (A+B)T=AT+BT (AB)T=BTAT (KA)T=KAT
??? 分块矩阵的运算：加减 数乘 乘法（将零矩阵划分出来，简化运算）
??? 分块矩阵的转置:
?????? 
??? 矩阵的初等变换：
- 交换矩阵的某两行，我们用ri<->rj表示交换矩阵的第i、j行；
- 矩阵的某一行乘以非零数，用kri表示矩阵的第i行元素乘以非零数k；
- 将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用rj+kri表示将矩阵第i行的k倍加到第j行。
2.3? 矩阵的应用：
求解线性方程组：
- 写出线性方程组的增广矩阵（非齐次线性方程组）或系数矩阵（齐次线性方程组）。
- 将矩阵化成行最简形。
- 列出方程组，找出自由变量和固定变量，用自由变量表示固定变量。
初等矩阵与逆矩阵的应用：
??? 三个等价命题（重要）：
- n阶方阵A可逆
- 方阵A行等价于n阶单位矩阵E
- 方阵A可表示为一些初等矩阵的乘积
判断矩阵是否可逆以及求解逆矩阵：
- 若不是方阵，必不可逆。
- 将矩阵与单位阵拼成一个矩阵，若不能将矩阵经过有限次初等行变换化成单位阵，则不可逆（计算时将拼成的矩阵化成行最简来看）。否则，可逆，之前的单位阵化成了矩阵的逆矩阵。
在第二章中可用矩阵的求逆公式来求矩阵的逆矩阵（伴随矩阵 余子式）
利用逆矩阵求解矩阵方程：
????????对于AX=B的矩阵方程，将A和B拼成分块矩阵（A|B），对其进行初等行变换，化成行最简形。若A可化成单位阵，即分块矩阵化为（E|C），A可逆，则X=C。否则，A,不可逆，矩阵方程无解。
????????对于XA=B的矩阵方程，需要用转置来做。
????????也可利用第二章的克莱姆法则来做。
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3 第二章关键知识点总结
3.1 行列式：
? ? 排列与全排列
??? 逆序数
??? 奇排列与偶排列
??? 对换
??? 相邻对换
??? 余子式
??? 代数余子式
??? 伴随矩阵：A*=|A|A-1
? ? 两个定理：1、对换改变排列的奇偶性 2、在n阶全排列中，偶排列、奇排列各占一半，即各有n!/2个。
??? n阶行列式的定义：
?????? n阶行列式是一个由 n行 n列数组成的矩阵中，选取若干个不同行、不同列的元素并且按照原来的顺序进行组合而得到的一个数。通常用符号 ∣A∣或 det(A)表示，其中 A是一个 n 阶方阵。当 n不等于1 时，行列式就是该矩阵唯一的元素；当 n≥2 时，行列式由各种排列所共同组成。
3.2 行列式的计算：
??? 对于2、3阶行列式：可用对角线法则。
??? 对于任意阶行列式：按行、按列展开（涉及余子式、代数余子式的概念）
??? 特殊（优先考虑）：上三角行列式，下三角行列式，全零行或列，对应两行或两列成比例。（化简时，可考虑将没一列或行加到第一行成相同的数）
3.3 行列式的性质：
??? 行列式Dn与它的转置DTn相等。
??? 互换行列式的两行或两列，行列式变号。
??? 若行列式有两行（或两列）对应成比例，则行列式等于零。
??? 设A是n阶方阵，则|kA|=kn|A|。
??? 若行列式的某一行或某一列 全为零，则·行列·是的值为零。
??? 行列式的某一行（或某一列）乘以数k加到另一行或一列的元素上去，行列式的值不变。
??? N阶方阵可逆的充分必要条件是方阵可逆。
??? 设A、B是两个方阵，则|A*B|=|A|*|B|。
??? 设A为n阶方阵，如果存在方阵B使得AB=E（或BA=E）,其中，E为n阶单位方阵，则称A可逆，其逆矩阵为B，否则，A不可逆。（相比第一章，条件减少）
3.4 求解线性方程组：
????? （1）系数矩阵行列式值不等于0：有唯一解（非齐次）、只有全零解（齐次），可用克莱姆法则。
????? （2）系数矩阵行列式值不等于0：有无穷多解或无解（非齐次，代入判断）、有非零解（齐次）。
3.5 行列式在计算机科学与技术方面的应用：
- 矩阵求逆：计算一个矩阵的逆矩阵是许多计算机图形、优化算法和模拟方法的基础。行列式在判断矩阵是否可逆以及计算逆矩阵时起到重要作用。
- 线性方程组求解：行列式可用于解决线性方程组。通过将系数矩阵的行列式计算出来，可以判断线性方程组是否有唯一解或无解，并且还可以使用克莱姆法则来求解线性方程组的解。
- 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量在计算机科学领域中广泛应用于数据降维、图像处理、聚类分析等领域。行列式在计算特征值和特征向量时起到关键作用。
- 图论和网络分析：在图论和网络分析中，行列式可以用于计算图的拉普拉斯矩阵、邻接矩阵和关联矩阵等，从而获取有关图的结构和性质的信息。
- 加密算法：行列式在一些加密算法中有应用，例如在椭圆曲线密码学中，行列式可以用于计算点的阶和判断点是否为基点。
图像处理：在图像处理中，行列式可以用于图像去噪、图像变换和图像压缩等方面。矩阵的奇异值分解（SVD）中使用了行列式的性质。
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4 第三章关键知识点总结
?? 4.1 向量：
????????n维向量：行向量、列向量。
? ? ? ? 向量组
??????线性组合：给定n维向量组a1,a2,…,an,对任意一组数k1,k2,…,kn，表达式 ?k1a1+k2a2+…+knan, 称为向量组的一个线性组合。
?????? 向量线性表示：给定n维向量组a1,a2,…,an和一个n维向量B,如果存在一组数k1,k2,…,kn，使得B=k1a1+k2a2+…+knan, 则称向量B可由向量组a1,a2,…,an线性表示，或者说向量B是向量组a1,a2,…,an的一个线性组合。（转换为线性方程组来做）
????????向量组线性表示：向量组的每一个向量都能被另一个向量组线性表示。（题目：转换成矩阵方程来做）
????????向量组等价：向量组之间相互线性表示。
????????向量组线性相关：
????????????????相关结论：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1、向量组a1,a2,…,am (m大于等于n)线性相关的充分必要条件是存在某一个向量aj（1<=j<=m）可由其余向量线性表示
? ? ? ? ? ? ? ? ????????2、两个向量a1,a2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例。
? ? ? ? ? ? ? ? ????????3、部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。
????????向量组线性无关
????????向量组秩：
????????????????满足条件：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、向量组a1,a2,…,ar线性无关
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、对于A中任意的向量B，向量组a1,a2,…,ar,B，线性相关。
????????????????向量组任一极大无关组所含有的向量个数，称为向量组的秩。
????????????????等价向量组有相同的秩
??? ????K阶子式
????????矩阵秩：
????????????????矩阵的行向量组的秩与它的列向量组的秩相等，都等于矩阵的秩。
???
4.2 向量的解题：
??? （1）求解矩阵秩：
?????? 定理准备：矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，若A行等价于B，则R(A)=R(B)。
??? ??? 求解：将矩阵化成行阶梯形，观察矩阵的最大非零行列子式，其阶数就等于矩阵的秩。
??? （2）判定线性方程组解的情况：
? ? ? ? ? ? 1、对于非齐次线性方程组：
? ? ? ? ? ? ? ? ? 无解：系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。
? ? ? ? ? ? ? ? ? 有解：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
? ? ? ? ? ? ? ? ? 唯一解：系数矩阵的秩等于n
? ? ? ? ? ? ? ? ? 无穷多解：系数矩阵的秩小于n
? ? ? ? ? ? ?2、对于齐次线性方程组：（系数矩阵的秩一定等于增广矩阵的秩
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?只有零解：系数矩阵的秩等于n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有非零解：系数矩阵的秩小于n
（3）求解齐次线性方程组的通解：
?????????? 1、写出齐次线性方程组的系数矩阵
? ? ? ? ? ? 2、将其化成行最简形
? ? ? ? ? ? 3、确定自由变量和固定变量，写出方程组
?????????? 4、用k个自由变量表示固定变量，取k个线性无关的由自由变量组成的向量，求出固定变量，将自由变量固定变量拼成解向量，写出通解。
??? （4）求解非齐次线性方程组的通解：
?????????? 1、写出齐次线性方程组的增广矩阵
?????????? 2、将其化成行最简形
?????????? 3、确定自由变量和固定变量，写出方程组
?????????? 4、取自由变量，求出固定变量，从而求出非齐次线性方程组的一个特解
?????????? 5、将方程组的常数去掉，求出齐次线性方程组的特解。
?????????? 6、非齐次线性方程组的通解等于齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的特解。
4.3 矩阵的秩在本学科的应用：
- 线性方程组求解：通过判断系数矩阵的秩，可以确定线性方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等于方程组未知数的个数时，方程组有唯一解；当秩小于未知数的个数时，方程组存在无穷多解；当秩与未知数的个数不相等时，方程组无解。
- 矩阵变换和图形处理：在计算机图形学和计算机视觉领域中，矩阵的秩被广泛应用于几何变换、图像处理和模式识别等方面。例如，通过对变换矩阵的秩进行分析，可以确定一个对象的维度和空间特征。
- 数据降维：在数据分析和机器学习中，矩阵的秩可用于数据降维。通过计算数据矩阵的秩，可以确定数据集中的相关特征数量，从而选择最具信息量的特征子集。
图论和网络分析：在图论和网络分析中，矩阵的秩用于描述图结构的性质和关联性。例如，邻接矩阵的秩可以提供图的连通性信息；拉普拉斯矩阵的秩可用于计算图的割点和割边。
- 线性回归和拟合曲线：在数据拟合和线性回归问题中，矩阵的秩被用来判断拟合模型的可行性和描述数据的相关性。如果设计矩阵（X）的秩小于列数，则最小二乘法可以得到最优解。
5 第四章关键知识点总结
5.1?概念：
????????向量内积、长度
????????正交向量组
????????施密特正交化
????????正交矩阵：
? ? ? ? ? ? ? ? 1、行、列向量都是规范正交基
? ? ? ? ? ? ? ? 2、若A为正交阵，则A-1=AT也是正交阵，且|A|=1或-1
? ? ? ? ? ? ? ? 3、若A和 B为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换
????????方阵的特征值和特征向量：
????????????? 性质1：设n阶矩阵A=(aij)的特征值为m1、m2,…,mn，则
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1、?m1+m2+…+mn=a11+a22+…+ann
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、m1*m2*…mn=|A|
????????????????性质2：
??? ????????????????若m是方阵A的特征值，aw为特征值a的特征向量。则
????????????????????????????????????????（特征向量都不变）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、mk为Ak的特征值（k为非负整数）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、km是方阵kA的特征值（k为任意常数）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、当A可逆式，A-1是方阵A-1的特征值
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、特征值满足多项式
????????相似矩阵：
??? ????????重要定理：相似矩阵的特征值相同。
????????方阵的相似对角化
????????实对称阵的相似对角化
????????二次型及其标准形
????????正定二次型与正定矩阵：
??? ????三个正定阵的充分必要条件：
? ? ? ? ? ? ? ? 1、A与单位阵合同
? ? ? ? ? ? ? ? 2、A的特征值全为正
? ? ? ? ? ? ? ? 3、A的各阶顺序主子式都为正
5.2 解题：
（1）施密特正交化：
（2）求方阵的特征值和特征向量：
- 列出方阵的特征方程
- 由特征方程的系数矩阵的行列式等于0解出特征值。
- 将特征值代入系数矩阵，并将系数矩阵化成行最简形
- 确定自由和固定变量，列出方程组，求出解向量即为特征向量
（3）方阵相似对角化判定条件：n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n各线性无关的特征向量。
（4）实对称阵相似对角化求解：
- 求出对称阵的特征值和特征向量
- 将特征值单位化和正交化（如果有重根，使用施密特正交法）
- 单位化后的特征向量拼成正交阵，对角阵对角线上的元素为特征值（与特征向量一一对应）
（5）用正交变换把二次型化成标准形
方法一：
- 写出二次型对应的对称阵
- 将对称阵相似对角化，求出正交阵和对角阵
- 求出标准形，列出正交变换
方法二：使用配方法
??? 5.3 方阵的特征值和特征向量在本学科的应用：
- 特征分解与主成分分析：特征值和特征向量在主成分分析（PCA）中起到了重要作用。通过对协方差矩阵的特征值和特征向量进行分析，可以确定数据集中最具信息量的主成分，从而实现数据降维和特征提取。
- 图像处理与压缩：特征值和特征向量在图像处理和压缩算法中扮演关键角色。例如，基于奇异值分解（SVD）的图像压缩算法利用图像矩阵的特征值和特征向量来实现数据的压缩和恢复。
- 网络分析与推荐系统：在网络分析和推荐系统中，特征值和特征向量被用来衡量节点的重要性和相关性。例如，基于马尔可夫链的页面排名算法PageRank就是利用特征值和特征向量来评估网页的重要性。
- 自然语言处理：特征值和特征向量在自然语言处理中也有应用。例如，在文本分类和情感分析中，使用一种称为词向量空间模型（Word Vector Space Model）的方法，可以将单词表示为特征向量，通过对特征向量进行分析和计算，能够实现文本的语义相似性比较和分类。
- 数据加密与安全：特征值和特征向量也在数据加密和安全领域得到应用。例如，基于特征向量的主动身份验证系统利用人体生物特征的特征值和特征向量来实现个体的身份认证。
6 结论/或学习感受
????????本实验报告对学习的线性代数知识进行了系统的复习，主要关注于概念、性质和解题。本实验报告还对感兴趣的知识点进行了在本学科应用的了解。
????????通过对线性代数一学期的学习，我觉得线性代数是一门很有意思的课程，数学逻辑能在学习过程中很好的体现。当然，线性代数也是计算量非常大得一门课程，需要极大得耐心和细心。
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