椭球面系列---基本性质
在STK软件和Cesium中，地球表面的形状是一个椭球面，而不是球面，因此许多相关计算(如表面的弧长、大地经纬度和笛卡尔坐标之间的转换等）都必须依赖椭球面的几何性质。
最近在看有关椭球面(在表示时有时也称椭球体)计算的相关代码，还是有必要整理一下，待后续参考，今天为系列一：基本性质。
定义
椭球面(Ellipsoid)是一个在三维空间中的曲面，它由所有满足以下方程的点 (x, y, z) 组成：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
\begin{equation}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \end{equation}
a2x2?+b2y2?+c2z2?=1??
其中，a、b 和 c 是实数，分别代表椭球体沿着三个坐标轴的半轴长度。如果 a = b = c，则椭球体就是一个球体。椭球体的基本性质包括:
-
对称性：椭球体关于三个坐标平面（xy平面，yz平面和xz平面）以及通过中心的三个坐标轴都是对称的。
-
中心点：椭球体有一个唯一的中心点 (0, 0, 0)，在这一点，椭球体的所有对称性都交汇。
-
轴线：椭球体有三个互相垂直的轴线，分别是x轴、y轴和z轴，它们通过椭球体的中心。椭球体在这三个轴线上的长度分别是 2a、2b 和 2c。
-
体积：椭球体的体积是由以下公式给出的：
V = 4 3 π a b c V = \frac{4}{3}\pi abc V=34?πabc -
表面积：椭球体的表面积没有简单的封闭形式，但它可以通过椭圆积分来近似或精确计算。对于特殊情况，比如当椭球体是一个球体时，表面积为 4 π r 2 4πr^2 4πr2，其中 r 是半径。
-
焦点：对于任意的椭球体，其每一个主切面（x=0，y=0或z=0平面内的椭圆）都有一对焦点。对于旋转椭球体（两个半轴相等，如 a = b），在z轴上的焦点之间的距离为 2 √ ( a 2 ? c 2 ) 2√(a^2 - c^2) 2√(a2?c2)。
-
椭球面上的点：可以通过参数方程使用三个角度参数来表述椭球面上的点。
基本假设
在后续的讨论中，为了简化方便，无论是椭球体还是点、直线等表达，都有：
- 椭球体的中心点为笛卡尔坐标系原点(0,0,0)。如果椭球体一开始不在坐标系中心，则需要经过平移和旋转，最后化为标准方程。
- 椭球体为旋转椭球体，即a=b。笛卡尔坐标系的X轴和Y轴的半轴长度为a或b，Z轴方向的半轴长度为c。
- XY平面称为赤道平面，Z轴一般称为极轴。因此 a a a为赤道半长轴， c c c称为极半长轴。
- 涉及到的点、矢量、直线等都表示在以椭球体中心为原点的笛卡尔坐标系中。
下图为三种基本旋转椭球体：
-
左图: 扁球体(Oblate spheroid)，即 a = b > c a=b>c a=b>c。
-
中图: 圆球体(Sphere)，即 a = b = c a=b=c a=b=c。
-
右图: 长轴旋转椭球体(Prolate spheroid），即 a = b < c a=b<c a=b<c。
后续过程文档中，使用以下基础的旋转椭球体参数： -
扁率: f = ( a ? c ) / a f=(a-c)/a f=(a?c)/a
-
第3扁率: n = ( a ? c ) / ( a + c ) = f / ( 2 ? f ) n=(a-c)/(a+c)=f/(2-f) n=(a?c)/(a+c)=f/(2?f)
-
偏心率: e 2 = ( a 2 ? c 2 ) / a 2 e^2=(a^2-c^2)/a^2 e2=(a2?c2)/a2
-
第2偏心率: e ′ 2 = ( a 2 ? c 2 ) / c 2 = e 2 / ( 1 ? e 2 ) e'^2=(a^2-c^2)/c^2=e^2/(1-e^2) e′2=(a2?c2)/c2=e2/(1?e2)
?
地球的形状为扁球体( a = b > c a=b>c a=b>c)，其参数(WGS84模型)为： -
赤道半长轴 a a a: 6378137m
-
极半长轴 b b b: 6356752.3142451793m
-
扁率: f = 1 / 298.257223563 f=1/298.257223563 f=1/298.257223563
基本性质
曲面方程的隐式与显示表达方式
- 隐式表达方式：
告诉你空间中的点满足特定的关系，而不是告诉你点具体在哪。例如，三维球面上的任意一点都满足 ：
F
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
?
1
=
0
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
F(x,y,z)=x2+y2+z2?1=0
。只要找到所有的x,y,z满足F(x,y,z)=0，就能将图像画出来。
缺点：很难去描述复杂的物体。仅根据表达式F(x,y,z)很难直接看出来是是什么样子，面上都有哪些点也不容易知道，面上采样起来比较困难（找到所有点），下面例子有。
优点：
1.通常表示出来很容易（例如用一个函数就能表示）。
2.做某些查询容易(判断在物体里面还是外面，计算到表面的距离等)。给你一个点，判断在里面还是外面是很简单的。将点代入F(x,y,z)，如果小于零在里面，大于零在外面，等于零在面上。
3.很容易对光线与表面求交。
-显式Explicit
典型一种方法的就是把每个点的位置都有明确的公式，自然就得到对象物体，这种方法直接给予。另一种方法是用参数映射的方法。
优点：采样很简单，将所有的UV代入就能得到所有的点了
缺点：给你一个点，判断在表面的里面还是外面是很困难了
点是否在椭球体面外、内、上
根据上节的知识，我们知道椭球面的方程是隐形表达的。给定三维空间中的点P，坐标为
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)，则带入椭球面方程：
F
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
?
1
\begin{equation} F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \end{equation}
F(x,y,z)=a2x2?+b2y2?+c2z2??1??
则有：
- F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0，则点P在椭球面上。
- F ( x , y , z ) < 0 F(x,y,z)<0 F(x,y,z)<0，则点P在椭球面内部。
- F ( x , y , z ) > 0 F(x,y,z)>0 F(x,y,z)>0，则点P在椭球面外部。
实际计算时，判断一个点是否在椭球面上，考虑到计算误差，不能精确的判断是否为0，而是有个小的允许误差，即 ∣ F ( x , y , z ) ∣ < ε |F(x,y,z)|<\varepsilon ∣F(x,y,z)∣<ε，则点P在椭球面上。
椭球面的矩阵表示
根据椭球面定义，椭球面上任意一点P点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)的坐标(采用
p
\textbf{p}
p表示)满足公式(1)。
定义对角矩阵
C
\textbf{C}
C：
C
=
[
1
/
a
2
1
/
b
2
1
/
c
2
]
\begin{equation} \textbf{C}= \left [ \begin{matrix} 1/a^2 & &\\ & 1/b^2 &\\ & & 1/c^2\\ \end{matrix} \right ] \end{equation}
C=
?1/a2?1/b2?1/c2?
???
则逆矩阵
C
?
1
\textbf{C}^{-1}
C?1：
C
?
1
=
[
a
2
b
2
c
2
]
\begin{equation} \textbf{C}^{-1}= \left [ \begin{matrix} a^2 & &\\ & b^2 &\\ & & c^2\\ \end{matrix} \right ] \end{equation}
C?1=
?a2?b2?c2?
???
则公式(1)可以写为以下形式:
[
x
,
y
,
z
]
.
[
a
2
b
2
c
2
]
.
[
x
y
z
]
=
p
T
Cp
=
1
\begin{equation} \left [\begin{matrix} x,y,z \end{matrix} \right]. \left [ \begin{matrix} a^2 & &\\ & b^2 &\\ & & c^2\\ \end{matrix} \right ] . \left [ \begin{matrix} x\\y\\z\\\end{matrix} \right ] =\textbf{p}^T\textbf{C}\textbf{p}=1 \end{equation}
[x,y,z?].
?a2?b2?c2?
?.
?xyz?
?=pTCp=1??
为了以后表达方便，我们采用加粗字母表示矢量或者矩阵。
?椭球面法线
为了找到椭球面上某一点的法线，可以先找到该点的切平面。切平面是通过该点，并且与椭球面在该点处相切的平面。
椭球面在
P
P
P点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)的法线即为垂直于P点切平面的向量，在数学上，可以使用梯度向量来表示法线方向。梯度向量是椭球面方程的梯度，它指向函数在某一点的最大增长方向。可由以下公式给出：
n
=
?
F
=
[
?
F
?
x
?
F
?
y
?
F
?
z
]
=
[
2
x
/
a
2
2
y
/
a
2
2
z
/
a
2
]
\textbf{n}=?F =\left [ \begin{matrix} \frac{?F}{?x} \\ \frac{?F}{?y}\\ \frac{?F}{?z}\\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 2x/a^2 \\ 2y/a^2\\ 2z/a^2\\ \end{matrix} \right ]
n=?F=
??x?F??y?F??z?F??
?=
?2x/a22y/a22z/a2?
?
我们知道，向量的方向是最重要的，大小可以不一致，单位化后都为同一个单位向量。若我们将法向量写成如下格式：
n
=
[
n
x
n
y
n
z
]
=
k
[
x
/
a
2
y
/
a
2
z
/
a
2
]
\begin{equation} \textbf{n}=\left [ \begin{matrix} n_x \\ n_y\\ n_z\\ \end{matrix} \right ] =k\left [ \begin{matrix} x/a^2 \\ y/a^2\\ z/a^2\\ \end{matrix} \right ] \end{equation}
n=
?nx?ny?nz??
?=k
?x/a2y/a2z/a2?
???
则有:
a
2
n
x
2
+
b
2
n
y
2
+
c
2
n
z
2
=
k
2
(
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
)
=
k
2
\begin{equation} a^2n_x^2+b^2n_y^2+c^2n_z^2=k^2(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2})=k^2 \end{equation}
a2nx2?+b2ny2?+c2nz2?=k2(a2x2?+b2y2?+c2z2?)=k2??
也就是说，如果我们知道椭球面一点P的法向量
n
\textbf{n}
n，则可以通过上式得到
k
k
k。
?将上式写成矩阵表达方式，即k的求解由下式给出：
n
T
C
?
1
n
=
k
2
\begin{equation} \textbf{n}^T\textbf{C}^{-1}\textbf{n}=k^2 \end{equation}
nTC?1n=k2??
得到k的数值后，则
P
P
P点的坐标
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)则可求出:
p
=
[
x
y
z
]
=
1
k
[
a
2
n
x
b
2
n
y
c
2
n
z
]
=
1
k
C
?
1
n
\begin{equation} \textbf{p}=\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ z\\ \end{matrix} \right ] =\frac1k\left [ \begin{matrix} a^2n_x \\ b^2n_y\\ c^2n_z\\ \end{matrix} \right ] =\frac1k\textbf{C}^{-1}\textbf{n} \end{equation}
p=
?xyz?
?=k1?
?a2nx?b2ny?c2nz??
?=k1?C?1n??
至此，我们通过公式(8)和(9）,在已知椭球面的法向量 n \textbf{n} n的情况下，得到了具体的笛卡尔坐标 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)。
参考:
[1]: 计算机图形学入门（九）-几何（基本表示方法：隐式和显式）
本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系我的编程经验分享网邮箱：veading@qq.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！