凸优化问题求解

2023-12-19 23:18:10

1. 线性规划基本定理

首先我们指出,线性规划均可等价地化成如下标准形式 { min ? ? c T x , s . t ? A x = b , x ? 0 , \begin{align}\begin{cases}\min~c^Tx,\\\mathrm{s.t}~Ax=b,\\x\succeq0,&\end{cases}\end{align} ? ? ??min?cTx,s.t?Ax=b,x?0,????其中, A = [ a 1 , ? ? , a n ] ∈ R m × n , b ∈ R m , c ∈ R n A=[a_1,\cdots,a_n]\in\mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb{R}^m,c\in\mathbb{R}^n A=[a1?,?,an?]Rm×n,bRm,cRn不妨恒假定矩阵 A A A 是行满秩的,即 r a n k ( A ) = m \mathbf{rank}(A)=m rank(A)=m(否则根据线性代数的理论,可以找到 r a n k ( A ) \mathbf{rank}(A) rank(A) 行方程来替换原方程,同时为了叙述简便,分别称矩阵 A A A 和 向量 b b b 为(1)的系数矩阵和右端向量.

因为线性规划的可行集是一个多面体,并且目标函数是线性的,从几何上直观地看,线性函数在多面体上的极小点若存在,则必然在多面体的顶点上取得.对于标准形式的线性规划问题,其最小值点必在坐标轴上达到,于是这就需要研究 A x = b Ax = b Ax=b 的所谓基础解的性质.

对标准形式的线性规划问题(7.1.1), 设方程组 A x = b Ax=b Ax=b 有解. 设 b ∈ s p a n ( A ) , { a j } j ∈ J b\in\mathbf{span}(A),\{a_j\}_{j\in J} bspan(A),{aj?}jJ? A A A的列向量的一个极大线性无关组,其中 J ? { 1 , . . . , n } , ∣ J ∣ = m ( ∣ J ∣ J\subset \{ 1, ..., n\} , |J|= m( |J| J?{1,...,n},J=m(J 表示集合 J J J 所含元素个数).那么 b b b 必可表示为 { a j } j ∈ J \{a_j\}_{j\in J} {aj?}jJ? 的线性组合.

定义 1.1 (线性方程组的基础解) 设 A ∈ R m × n , ? b ∈ R m , ? x = ( x 1 , . . . , x n ) T A\in\mathbb{R}^{m\times n},\:b\in\mathbb{R}^m,\:x=(x_1,...,x_n)^T ARm×n,bRm,x=(x1?,...,xn?)T 是线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b 的一个解.如果存在 J ? { 1 , ? ? , n } , ∣ J ∣ = r a n k ( A ) J\subset\{1,\cdots,n\},\quad|J|=\mathbf{rank}(A) J?{1,?,n},J=rank(A),使得 x j = 0 , ? j ∈? J ; { a j ∣ j ∈ J } 线性无关 , x_j=0,\quad\forall j\not\in J;\quad\{a_j|j\in J\}\text{线性无关}, xj?=0,?jJ;{aj?jJ}线性无关,则称 x x x 为一个基础解, x x x 的分量 { x j ∣ j ∈ J } \{x_j|j\in J\} {xj?jJ} 称为相应的基变量,并称 { x j ∣ j ∈? J } \{x_j|j\not\in J\} {xj?jJ} 为非基变量.若 { x j ∣ j ∈ J } \{x_j|j\in J\} {xj?jJ} 含有零元素,则称 x x x 是一个退化的基础解.

显然,若 A x = b Ax=b Ax=b 有解,则矩阵 A A A 的列向量 { a 1 , . . . , a n } \{a_1,...,a_n\} {a1?,...,an?} 的每一个极大线性无关组对应于一个基础解,由于 { a 1 , . . . , a n } \{a_1,...,a_n\} {a1?,...,an?} 的极大线性无关组未必唯一,所以 A x = b Ax=b Ax=b 的基础解也不一定是唯一的.

引理 1.1 A = [ a 1 , . . . , a n ] ∈ R m × n , ? b ∈ R m , ? x ∈ R n A=[a_1,...,a_n]\in\mathbb{R}^{m\times n},\:b\in\mathbb{R}^m,\:x\in\mathbb{R}^n A=[a1?,...,an?]Rm×n,bRm,xRn A x = b Ax=b Ax=b 的一个解,那么 x x x 是基础解当且仅当 { a j ∣ x j ≠ 0 } \{a_j|x_j\neq0\} {aj?xj?=0} 线性无关.

. 设 x x x 是基础解,根据线性方程组基础解的定义,存在 J ? { 1 , ? ? , n } , ∣ J ∣ = r a n k ( A ) J\subset\{1,\cdots,n\},\quad|J|=\mathbf{rank}(A) J?{1,?,n},J=rank(A),使得 x j = 0 , ? j ∈? J ; { a j ∣ j ∈ J } 线性无关 , x_j=0,\quad\forall j\not\in J;\quad\{a_j|j\in J\}\text{线性无关}, xj?=0,?jJ;{aj?jJ}线性无关,于是由集合的性质可以得到, { a j ∣ x j ≠ 0 } ? { a j ∣ j ∈ J } \{a_j|x_j\neq0\}\subset\{a_j|j\in J\} {aj?xj?=0}?{aj?jJ}, 所以 { a j ∣ x j ≠ 0 } \{a_j|x_j\neq0\} {aj?xj?=0} 是极大线性无关组的子集,故线性无关.

反之,设 A x = b Ax=b Ax=b { a j ∣ x j ≠ 0 } \{a_j|x_j\neq0\} {aj?xj?=0} 线性无关.不妨设
{ x j ≠ 0 j = 1 , ? ? , k ; x j = 0 j = k + 1 , ? ? , n . \begin{cases}x_j\neq0&j=1,\cdots,k;\\x_j=0&j=k+1,\cdots,n.\end{cases} {xj?=0xj?=0?j=1,?,k;j=k+1,?,n.?因为 a 1 , . . . , a k a_1,...,a_k a1?,...,ak? 线性无关,所以 k ≤ m = r a n k ( A ) k\leq m= \mathbf{rank}(A) km=rank(A). 当 k < m k<m k<m 时从 a k + 1 , ? ? , a n a_{k+1},\cdots,a_n ak+1?,?,an? 中挑选 m ? k m-k m?k 个向量,不妨设为 a k + 1 , ? ? , a m a_{k+1},\cdots,a_m ak+1?,?,am?,使得 a 1 , ? ? , a m a_1,\cdots,a_m a1?,?,am? 线性无关. 由于 x m + 1 = . . . = x n = 0 x_{m+1}=...=x_n= 0 xm+1?=...=xn?=0,所以 x x x A x = b Ax=b Ax=b 的一个基础解.

n n n 维线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b 的解 x x x的全体构成 R n \mathbb{R} ^n Rn 中的一个仿射集. 其基础解是落在某个 m m m 维子空间的解,它使得 { a j ∣ x j ≠ 0 } \{a_j|x_j\neq0\} {aj?xj?=0} 线性无关.

定义 1.2 (基础可行解和基础最优解) 对于线性规划(1)即 { min ? ? c T x , s . t ? A x = b , x ? 0 , \begin{aligned}\begin{cases}\min~c^Tx,\\\mathrm{s.t}~Ax=b,\\x\succeq0,&\end{cases}\end{aligned} ? ? ??min?cTx,s.t?Ax=b,x?0,??? x x x A x = b Ax=b Ax=b 的一个基础解,

(1) 若 x x x 还是(1)的一个可行点,即 x ? 0 x\succeq0 x?0, 则称之为(1)的一个基础可行解;

(2) 若 x x x 还是(1)的一个最优解,则称之为(1)的一个基础最优解.

对于线性规划(7.1.1),有

命题 1.2 (线性规划基本定理) 对于线性规划(1)有

(1) 若存在可行点,则必存在基础可行解;

(2) 若存在最优解,则存在基础最优解

.设 A = [ a 1 , ? ? , a n ] ∈ R m × n , b ∈ R m , x A=[a_1,\cdots,a_n]\in\mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb{R}^m,x A=[a1?,?,an?]Rm×n,bRm,x 是(1)的一个可行点.若 { a j ∣ x j > 0 } \{a_j|x_j>0\} {aj?xj?>0} 线性相关,不妨设 x x x 的前 k k k 个分量非零: x j > 0 , j = 1 , ? ? , k ; x j = 0 , j = k + 1 , ? ? , n . \begin{aligned}x_j>0,&&j=1,\cdots,k;&&x_j=0,&&j=k+1,\cdots,n.\end{aligned} xj?>0,??j=1,?,k;??xj?=0,??j=k+1,?,n.?由于 { a j ∣ x j > 0 } \{a_j|x_j>0\} {aj?xj?>0} 线性相关,于是存在 0 ≠ y = ( y 1 , ? ? , y k , 0 , ? ? , 0 ) T ∈ R n 0\neq y=(y_1,\cdots,y_k,0,\cdots,0)^T\in\mathbb{R}^n 0=y=(y1?,?,yk?,0,?,0)TRn, 使得 A y = y 1 a 1 + ? + y k a k = 0. Ay=y_1a_1+\cdots+y_ka_k=0. Ay=y1?a1?+?+yk?ak?=0.易见,当 ? > 0 \epsilon>0 ?>0 充分小时,有
\quad (a) x j ± ? y j > 0 , j = 1 , ? ? , k x_j\pm \epsilon y_j> 0, j= 1, \cdots , k xj?±?yj?>0,j=1,?,k.所以 x ± ? y x\pm\epsilon y x±?y 都是可行点;
\quad (b) 若 x x x 是最优解,则 c T x ≤ c T ( x ± ? y ) c^Tx\leq c^T(x\pm\epsilon y) cTxcT(x±?y),即 c T y = 0 c^Ty=0 cTy=0. 从而 c T ( x ± ? y ) = c T x . c^T(x\pm\epsilon y)=c^Tx. cT(x±?y)=cTx.

不妨设 y 1 , . . . , y k y_1,...,y_k y1?,...,yk? 中至少有一个为正的项. 下面我们用用逐步逼近的思想,来让可行解 x x x 其中一个分量变为零后但仍为可行解.

? \epsilon ? 逐步增大,直到 { x j ? ? y j ∣ j = 1 , . . . , k } \{x_j-\epsilon y_j|j=1,...,k\} {xj???yj?j=1,...,k} 中至少有一项为 0 而其余各项非负. 因为 ? \epsilon ? 充分小,于是 x ~ : = x ? ? y \tilde{x}:=x-\epsilon y x~:=x??y 仍是一个可行点,且它比 x x x 至少多出一个为零的分量.

{ a j ∣ x ~ j > 0 } \{a_j|\tilde{x}_j>0\} {aj?x~j?>0} 仍线性相关,不断重复上述逐步逼近的操作,那么有限次后便得到可行点 x ~ \tilde{x} x~, 使得 { a j ∣ x ~ j > 0 } \{a_j|\tilde{x}_j>0\} {aj?x~j?>0} 线性无关(因为线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b的 系数矩阵 A A A 的秩不为0).因为 0 ? x 0\preceq x 0?x,所以 { a j ∣ x ~ j > 0 } = { a j ∣ x ~ j ≠ 0 } \{a_j|\tilde{x}_j>0\}=\{a_j|\tilde{x}_j\neq0\} {aj?x~j?>0}={aj?x~j?=0}, 于是由引理 1.1可知, x ~ \tilde{x} x~ 是一个基础可行解. (1) 获证.

命题 1.2是非常重要的,它能够说明在整个可行集中求解线性规划(1)的问题可以归结为在基础可行集中求解.而 A x = b Ax=b Ax=b 的基础解个数就是 { a 1 , . . . , a n } \{a_1,...,a_n\} {a1?,...,an?} 的极大线性无关组的个数,且最大个数为 ( n m ) \binom{n}{m} (mn?).

定义 1.3 (极点) 设 x ∈ S ? R n x\in S\subset\mathbb{R}^n xS?Rn. 如果不存在互异的 x 1 , x 2 ∈ S x_1,x_2\in S x1?,x2?S 以及 0 < θ < 1 0<\theta<1 0<θ<1, 使得 x = θ x 1 + ( 1 ? θ ) x 2 x=\theta x_1+(1-\theta)x_2 x=θx1?+(1?θ)x2?,即线段 x 1 x 2 x_1x_2 x1?x2?之间任意一点都不属于集合 S S S ,则称 x x x S S S 的一个极点.

命题 1.3 (基础可行解的几何特征) 设 A ∈ R m × n , b ∈ R m A\in\mathbb{R}^{m\times n},\quad b\in\mathbb{R}^m ARm×n,bRm,记 D : = { x ∈ R n ∣ A x = b , ? x ? 0 } \mathcal{D}:=\{x\in\mathbb{R}^n|Ax=b,\:x\succeq0\} D:={xRnAx=b,x?0}.那么, x x x 是一个基础可行解当且仅当它是 D D D 的一个极点.

.设 x x x 不是 D \mathcal{D} D 的一个极点,不妨设 x ∈ D ( x\in\mathcal{D}( xD(否则已经不是基础可行解). 因为 x x x是基础可行解且 x x x 不是极点,于是存在 y , z ∈ D , ? y ≠ z y,z\in\mathcal{D},\:y\neq z y,zD,y=z,以及 0 < θ < 1 0<\theta<1 0<θ<1, 使得 x = θ y + ( 1 ? θ ) z x=\theta y+(1-\theta)z x=θy+(1?θ)z.不妨设设 { i ∣ x i > 0 } = { 1 , . . . , k } . \{i|x_i>0\}=\{1,...,k\}. {ixi?>0}={1,...,k}. 由于 x , y , z x,y,z x,y,z 的所有分量都是非负的,且由于 x = θ y + ( 1 ? θ ) z x=\theta y+(1-\theta)z x=θy+(1?θ)z,所以 y , z y,z y,z 的后 n ? k n-k n?k 个分量也是 0. 于是 ∑ i = 1 k ( y i ? z i ) a i = ∑ i = 1 k y i a i ? ∑ i = 1 k z i a i = A y ? A z = b ? b = 0. \sum_{i=1}^k(y_i-z_i)a_i=\sum_{i=1}^ky_ia_i-\sum_{i=1}^kz_ia_i=Ay-Az=b-b=0. i=1k?(yi??zi?)ai?=i=1k?yi?ai??i=1k?zi?ai?=Ay?Az=b?b=0.所以 a 1 , . . . , a k a_1,...,a_k a1?,...,ak? 线性相关. 由 引理 1.1可知, x x x 不是一个基础可行解,矛盾

反之,设 x x x 不是一个基础可行解但 x x x是极点,不妨设 x ∈ D ( x\in\mathcal{D}( xD(否则它已经不是 D \mathcal{D} D 的极点). 由于 x x x 不是基础可行解,则 x x x 也不是 A x = b Ax=b Ax=b 的基础解. 不妨设 { i ∣ x i > 0 } = { 1 , . . . , k } \{i|x_i>0\}=\{1,...,k\} {ixi?>0}={1,...,k}, 那么 a 1 , . . . , a k a_1,...,a_k a1?,...,ak? 线性相关. 于是存在 0 ≠ y = ( y 1 , ? ? , y k , 0 , ? ? , 0 ) T 0\neq y=(y_1,\cdots,y_k,0,\cdots,0)^T 0=y=(y1?,?,yk?,0,?,0)T, 使得 A y = 0 Ay=0 Ay=0. 易见当 ? \epsilon ? 充分小时,有 x ± ? y ∈ D , x = 1 2 [ ( x + ? y ) + ( x ? ? y ) ] . x\pm\epsilon y\in\mathcal{D},\quad x=\frac{1}{2}\big[(x+\epsilon y)+(x-\epsilon y)\big]. x±?yD,x=21?[(x+?y)+(x??y)].所以 x x x 不是 D \mathcal D D 的极点,矛盾.

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