【动态规划】最长公共子序列

问题介绍

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。

示例 2：
输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。

示例 3：
输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

问题分析

text1 = “abcde”, text2 = “ace”
?动态规划先减少比较的字符，让两个字符串的字符进行一一比较，比如，当text1 = a，text2 = a时，相同子序列数量为1；当text1 = ab，text2 = a时，相同子序列数量为1。
按照这个思路，我们逐渐扩大问题，总可以比较两个字符串的末尾字符是否相等，如果相等，则在前一个最大相同子序列的基础上加1。
?定义 f[ i ][ j ]表示字符串text1的[1 , i ]区间和字符串text2的[1 , j ]区间的最长公共子序列长度（下标从1开始）。
?1、若两个字符串目前的最后一位相等，那么问题就转化成了字符串 text1 的[1 , j-1]区间和字符串 text2 的[1 , j-1]区间的最长公共子序列长度再加上一，即 f[ i ] [j ] = f [ i - 1][ j - 1] + 1。（下标从1开始）
?2、若最后一位不相等，那么字符串text1的[ 1, i ]区间和字符串text2的[ 1 , j ]区间的最长公共子序列长度无法延长，因此f [ i ] [ j ]就会继承f [ i -1][j]与f [ i ][ j - 1 ]中的较大值。之所以是较大值，则是题目本身要得到最长子序列决定的。
继续采用这个思路进行手动填表：

最终结果位于右下角。

代码

public class LongestCommonSubsequence{
    public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int n = text1.length();
        int m =  text2.length();
        int[][] length = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            char c = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= m; j ++) {
                char c1 = text2.charAt(j - 1);
                if (c == c1) {
                    length[i][j] = length[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    length[i][j] = Math.max(length[i - 1][j], length[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return length[n][m];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        System.out.println("输入text1：");
        String text1 = in.next();
        System.out.println("输入text2：");
        String text2 = in.next();
        System.out.println(longestCommonSubsequence(text1,text2));
    }
}