二的幂数组中查询范围内的乘积

说在前面

🎈不知道大家对于算法的学习是一个怎样的心态呢？为了面试还是因为兴趣？不管是出于什么原因，算法学习需要持续保持。

题目描述

给你一个正整数?n?，你需要找到一个下标从?0?开始的数组?powers?，它包含 最少?数目的 2?的幂，且它们的和为?n?。powers?数组是?非递减?顺序的。根据前面描述，构造?powers?数组的方法是唯一的。

同时给你一个下标从 0?开始的二维整数数组?queries?，其中?queries[i] = [lefti, righti]?，其中?queries[i]?表示请你求出满足?lefti <= j <= righti?的所有?powers[j]?的乘积。

请你返回一个数组?answers?，长度与?queries?的长度相同，其中?answers[i]是第?i?个查询的答案。由于查询的结果可能非常大，请你将每个?answers[i]?都对?109 + 7?取余?。

示例 1：

输入：n = 15, queries = [[0,1],[2,2],[0,3]]
输出：[2,4,64]
解释：
对于 n = 15 ，得到 powers = [1,2,4,8] 。没法得到元素数目更少的数组。
第 1 个查询的答案：powers[0] * powers[1] = 1 * 2 = 2 。
第 2 个查询的答案：powers[2] = 4 。
第 3 个查询的答案：powers[0] * powers[1] * powers[2] * powers[3] = 1 * 2 * 4 * 8 = 64 。
每个答案对 109 + 7 得到的结果都相同，所以返回 [2,4,64] 。

示例 2：

输入：n = 2, queries = [[0,0]]
输出：[2]
解释：
对于 n = 2, powers = [2] 。
唯一一个查询的答案是 powers[0] = 2 。答案对 10^9 + 7 取余后结果相同，所以返回 [2] 。

提示：

• 1 <= n <= 10^9
• 1 <= queries.length <= 10^5
• 0 <= starti <= endi < powers.length

思路分析

首先我们要先理解一下题目的意思，题目会给我们一个正整数?n?，我们需要找到一个下标从?0?开始的数组?powers?，它包含 最少?数目的 2?的幂，且它们的和为?n。得到powers数组之后，我们需要根据给出的二维整数数组?queries 进行相应的计算，其中?queries[i] = [lefti, righti]?，我们需要求出满足?lefti <= j <= righti?的所有?powers[j]?的乘积。

• 1、获取powers数组

powers数组需要满足以下两个条件
- 它包含 最少?数目的 2?的幂
- 它们的和为?n?
所以我们可以先找出小于等于n的所有正整数

const powList = [];
let num = 1;
while(num <= n){
    powList.push(num);
    num *= 2;
}

优先取powList中的最大值，这样可以用最少数目的整数来组成powers数组

let ind = powList.length - 1;
while(n > 0){
    while(powList[ind] > n) ind--;
    n -= powList[ind];
    powers.unshift(ind);
}

• 2、计算乘积

我们初中的时候都学过幂运算，这里只需要用到一个简单的运算法则：

指数相乘运算公式：a^m·an=a^（m+n）。指数是幂运算a?（a≠0）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，a?表示n个a连乘。当n=0时，a?=1。
幂运算是一种关于幂的数学运算。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

所以我们只需要计算指数和再求幂即可。

for(let i = 0; i < queries.length; i++){
    let ind = 0;
    for(let j = queries[i][0]; j <= queries[i][1]; j++) ind += powers[j];
    res.push(quickPow(2,ind));
}

完整AC代码如下：

AC代码

/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} queries
 * @return {number[]}
 */
 var productQueries = function(n, queries) {
     const res = [];
     const powers = [];
     const powList = [];
     let num = 1;
     const mod = BigInt(1000000007);
     const quickPow = function(a, b) {
        a = BigInt(a);
        b = BigInt(b);
        let ret = BigInt(1);
        a = a % mod;
        while (b) {
            if (b & BigInt(1)) ret = ret * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b = b >> BigInt(1);
        }
        return ret;
    };
     while(num <= n){
         powList.push(num);
         num *= 2;
     }
     let ind = powList.length - 1;
     while(n > 0){
         while(powList[ind] > n) ind--;
         n -= powList[ind];
         powers.unshift(ind);
     }
     for(let i = 0; i < queries.length; i++){
         let ind = 0;
         for(let j = queries[i][0]; j <= queries[i][1]; j++) ind += powers[j];
         res.push(quickPow(2,ind));
     }
     return res;
 };

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🎉 这里是 JYeontu，现在是一名前端工程师，有空会刷刷算法题，平时喜欢打羽毛球 🏸 ，平时也喜欢写些东西，既为自己记录 📋，也希望可以对大家有那么一丢丢的帮助，写的不好望多多谅解 🙇，写错的地方望指出，定会认真改进 😊，偶尔也会在自己的公众号『前端也能这么有趣』发一些比较有趣的文章，有兴趣的也可以关注下。在此谢谢大家的支持，我们下文再见 🙌。