【矩阵论】Chapter 5—lambda矩阵与Jordan 标准型

1 $\lambda$矩阵关键概念

• $\lambda$矩阵定义

  设$a_{ij}(\lambda )(1\le i\le m,1\le j\le n)$是数域$P$上的多项式，以$a_{ij}(\lambda )$为元素的$m\times n$矩阵
  $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}(\lambda )& a_{12}(\lambda )& ...& a_{1n}(\lambda )\\ a_{21}(\lambda )& a_{22}(\lambda )& ...& a_{2n}(\lambda )\\ ?& ?& & ?\\ a_{n1}(\lambda )& a_{n2}(\lambda )& ...& a_{nn}(\lambda )\end{array}\right)$$
  成为多项式矩阵或$\lambda$矩阵，多项式$a_{ij}(\lambda )(1\le i\le m,1\le j\le n)$中的最高次数成为$A(\lambda )$的次数，则数字矩阵显然是$\lambda$矩阵，为$0$次；数字矩阵$A$的特征矩阵$\lambda I?A$就是$1$次$\lambda$矩阵。

  设$A(\lambda )$矩阵的次数为$k$，则$A(\lambda )$可表示为
  $$A(\lambda )=A_k{\lambda }^k+A_{k?1}{\lambda }^{k?1}+?+A_1{\lambda }^1+A_0$$
  其中$A_i(0\le i\le k)$是数字矩阵，并且$A_k\ne 0$。

• $\lambda$矩阵性质

  1. $\lambda$矩阵也可以进行初等变换
  2. 若$A(\lambda )$可以经过有限次初等变换化为$B(\lambda )$，则称$\lambda$矩阵$A(\lambda )$和$B(\lambda )$相抵，记为$A(\lambda )?B(\lambda )$

• $\lambda$矩阵定理

  设$A(\lambda )=(a_{ij}(\lambda ))\in P[\lambda {]}^{m\times n}$，且$rank(A(\lambda ))=r$，则$A(\lambda )$相似于如下的对角矩阵
  $${\left(\begin{array}{ccccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & & \\ & & ?& & & & \\ & & & d_r(\lambda )& & & \\ & & & & 0& & \\ & & & & & ?& \\ & & & & & & 0\end{array}\right)}_{m\times n}$$
  其中$d_i(\lambda )(1\le i\le r)$是首项系数为$1$的多项式，并且$d_i(\lambda )|d_{i+1}(\lambda )(1\le i\le r?1)$

• $Smith$标准型

  $\lambda$矩阵定理中的对角矩阵就称为$\lambda $矩阵$A(\lambda)$在相抵下的标准型或者$Smith$标准型。

  $Smith$标准型是唯一的

• 不变因子、行列式因子、初等因子

  重要性质：相抵的$\lambda$矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子

  $Smith$标准型“主对角线”上非零元$d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda )$称为$A(\lambda )$的不变因子；

  $A(\lambda )$的全部$k$阶子式的最大公因式称为$A(\lambda )$的==$k$阶行列式因子==，记为$D_k(\lambda )$；

  其中$d_k(\lambda )=\frac{D_{k+1}(\lambda )}{D_k(\lambda )}$

  初等因子是从不变因子分解得来的，具体如下：

  假设不变因子为
  $$\begin{gathered} d_1(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{e_{11}}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{e_{12}}?(\lambda ?{\lambda }_k{)}^{e_{1k}} \\ {d}_2(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{e_{21}}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{e_{22}}?(\lambda ?{\lambda }_k{)}^{e_{2k}} \\ \dots \dots \\ {d}_r(\lambda )=(\lambda ?{\lambda }_1{)}^{e_{r1}}(\lambda ?{\lambda }_2{)}^{e_{r2}}?(\lambda ?{\lambda }_k{)}^{e_{rk}} \end{gathered}$$
  则所有指数大于$0$的因子$(\lambda ?{\lambda }_j{)}^{e_{ij}}(1\le i\le r,1\le j\le k)$称为$\lambda$矩阵$A(\lambda )$的初等因子

2 矩阵相似的条件

• 定义

  设$A$为$n$阶数字矩阵，其特征矩阵$\lambda I?A$的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为矩阵$A$的行列式因子，不变因子和初等因子。

• 相似的充分必要条件

  $n$阶矩阵$A$和$B$相似$?$存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{?1}AP$$?$它们的特征矩阵$\lambda I?A$和$\lambda I?B$相抵$?$它们具有相同的行列式因子或者它们有相同的不变因子$?$它们具有相同的初等因子

3 矩阵的Jordan标准型

• Jordan块和Jordan标准型

  Jordan块分上Jordan块和下Jordan块，我们一般用上Jordan块。

  如果$(\lambda ?a{)}^d$是$A$的初等因子，我们则可以构建一个$d\times d$的矩阵形式
  $$J_d(a)=\left(\begin{array}{ccccc}a& 1& ...& 0& 0\\ 0& a& 1& ...& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 0& a& 1\\ 0& 0& 0& 0& a\end{array}\right)$$
  这个矩阵我们称为上Jordan块。下Jordan块则为
  $$J_d(a)=\left(\begin{array}{ccccc}a& 0& ...& 0& 0\\ 1& a& 0& ...& 0\\ ?& ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 0& 1& a\end{array}\right)$$
  那由若干个Jordan块为对角块组成的块对角矩阵称为Jordan标准型

• 性质

  1. Jordan块被它的初等因子唯一确定
  2. Jordan标准型的全部初等因子由它的全部Jordan块的初等因子组成
  3. 每个$n$阶矩阵都相似于它的Jordan标准型
  4. Jordan标准型不唯一，其内部Jordan块的顺序可以随意，但每个Jordan块唯一，如果除去其中Jordan块排列的次序外是被矩阵$A$唯一确定的

• 求$n$阶方阵$A$的Jordan标准型

  1. 得到$(\lambda I?A)$矩阵，求它的各阶行列式因子$D_k(\lambda )$
  2. 根据公式$d_1(\lambda )=D_1(\lambda )$，$d_k(\lambda )=\frac{D_{k+1}(\lambda )}{D_k(\lambda )}(2\le k\le n)$得到不变因子
  3. 从不变因子分解得到初等因子
  4. 根据初等因子构成Jordan块$J_i$，再组成Jordan标准型$J$

• 求可逆矩阵$P$，使得$P^{?1}AP=J$

  1. 根据上一个方法求出矩阵$A$的Jordan标准型$J$

  2. 左右两边左乘$P^{?1}$变换公式得到$AP=PJ$

  3. 设$P=(P_1,..,P_n)$，根据公式构造
     $$?\begin{array}{l}A{P}_1=J_{11}{P}_1\\ A{P}_2=J_{12}{P}_1+J_{22}{P}_2\\ \dots \\ A{P}_n=J_{(n?1,n)}{P}_{n?1}+J_{nn}{P}_n\end{array}$$
     其中$J_{(i,i+1)}$的取值只能为$0or1$，$J_{ii}$的取值即为对角线元素。根据方程从而解得$P$。

  注意：$P$不唯一，但是我们在设$P$元素的时候一定要保证$P$可逆，即$rank(P)=n$。可以自己进行初等变换验证一下是否正确！

• Python求解$J$和可逆矩阵$P$

  import numpy as np
  from sympy import Matrix
  import pprint
  
  A = np.array([[2, 2, 1], [-2, 6, 1], [0, 0, 4]])
  A = Matrix(A)
  P, J = A.jordan_form()
  # 验证P^-1 * A * P = J
  assert P ** -1 * A * P == J, "P^-1 * A * P != J"
  pprint.pprint("P:", P)
  pprint.pprint("J:", J)
  

4 Cayley-Hamilton 定理与最小多项式

• Cayley-Hamilton 定理

  设$A$是$n$阶矩阵，$f(\lambda )$是$A$的特征多项式，则$f(A)=0$

• 相关定义

  设$A$为$n$阶矩阵，如果存在多项式$\phi (\lambda )$使得$\phi (A)=0$，则称$\phi (\lambda )$为$A$的化零多项式。易知$f(\lambda )$为$A$的化零多项式，且$g(\lambda )f(\lambda )$也为$A$的化零多项式，故$A$的化零多项式有无穷多个

  $A$的所有化零多项式中，次数最低，且首项系数为$1$的多项式称为$A$的最小多项式。$A$的最小多项式是唯一的

• 结论

  $A$的最小多项式就是$d_n(\lambda )$，即$A$的第$n$个不变因子